解答

(以下 「x の a乗」を x^a などと書くことにします)

g(x) = x^(5/2) f(x) 、すなわち f(x) = x^(-5/2) g(x) とおく。 この時、

x^6 {f'(x)}^2 = x^6 [ { x^(-5/2) g(x) }' ]^2
= (25/4) x^4 f(x)^2 + x {g'(x)}^2 - 5 g(x) g'(x)

両辺を[0,1]上で積分すると、左辺は不等式の大きい方の項そのもの、 右辺の第一項は不等式の小さい方の項そのもの、 第二項は[0,1]上で非負の関数の積分なので非負、 第三項は g(0)=g(1)=0 に注目すれば部分積分よりゼロ。 したがって第二、三項を削って、目的の不等式が得られる。 証明終わり。