Malliavin 解析入門— Nualart の教科書^{∗} 第一章より

原 啓介 kshara@se.ritsumei.ac.jp 立命館大学理工学部数理科学科

12 July 2003

このノートは立命館大学数理科学科の大学院における講義、および私自身の勉強のために、 Nualart の教科書の第一章を翻訳し、いくらかの変更を加えてリコンパイルしたものです。この文書のダウンロード、コピー、配布等は内容の評価目的の私的なものに限ります。御意見、提案、間違いの指摘等を歓迎します。

目次

1 Wiener-Itô 分解 1 1.1 Hilbert 空間上の Gauss 過程 . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Hermite 多項式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.3 Wiener-Ito 分解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.4 一般化 Hermite 多項式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2 重複 Wiener 積分 6 2.1 Wiener 積分 (確率積分) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2.2 重複 Wiener (確率) 積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.3 重複 Wiener 積分の積公式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.4 重複 Wiener 積分と Wiener chaos の対応 . . . . . . . . . . 11 3 伊藤積分 12

∗“The Malliavin Calculus and Related Topics” (by D.Nualart, Springer-Verlag).

3.1 ブラウン運動 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 3.2 伊藤積分の定義 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 3.3 マルチンゲールとしての伊藤積分 . . . . . . . . . . . . . . 17

4 微分作用素 D 22 4.1 微分 DF の導入 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 4.2 部分積分公式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 4.3 空間 D^{p,q} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 4.4 二乗可積分確率変数の微分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 4.5 微分 D の chain rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

5 Skorohod 積分 (または微分 D の随伴作用素 δ) 31 5.1 Skorohod 積分の定義 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 5.2 δ の Wiener chaos 展開への作用 . . . . . . . . . . . . . . . 32 5.3 Skorohod 積分の性質 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 5.4 Skorohod 積分の特別な場合としての伊藤積分 . . . . . . . 38 5.5 作用素 D と δ の局所性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

6 Ornstein-Uhlenbeck 半群 T_{t} と生成作用素 L 43 6.1 Ornstein-Uhlenbeck 半群 T_{t} . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 6.2 Ornstein-Uhlenbeck 半群の無限小生成作用素 L . . . . . . 47 6.3 超縮小性 (hypercontractivity) と乗数定理 . . . . . . . . . . 50 6.4 Sobolev 空間と Meyer のノルム同値性 . . . . . . . . . . . 54

1 Wiener-Itô 分解

1.1 Hilbert 空間上の Gauss 過程

H を実可分 Hilbert 空間とし、その内積を ⟨·, ·⟩_{H}, ノルムを ∥ · ∥_{H} と書く。

定義 1.1 (H 上の Gauss 過程) 完備な確率空間 (Ω, F, P) 上で定義された確率過程 W = {W (h); h ∈ H} が H 上の Gauss 過程であるとは、 W が期待値が 0 の Gauss 族で、すべての h, g ∈ H について

E[W (h)W (g)] = ⟨h, g⟩_{H}

であるもののこと。

上の定義のもと、 h → W (h) は線形。なぜなら、任意の λ, μ ∈ R と h, g ∈ H に対し、

E[{W (λh + μg) − λW (h) − μW (g)}^{2}] = 0

であることが容易に確かめられる。よって、定義では Gauss 族とまで仮定せずに、 Gaussian 確率変数と言っておけば十分だった。

1.2 Hermite 多項式

定義 1.2 (Hermite 多項式) H_{0}(x) = 1,

H_{n}(x) = \frac{(−1)^{n}}{n!} e^{x^{2}/2} \frac{d^{n}}{dx^{n}} e^{−x^{2}/2}, (n ≥ 1)

で定義される多項式 H_{n}(x) を Hermite 多項式と言う。

以下の主張は簡単な計算ですぐに得られる。補題 1.1 (Hermite 多項式の母関数)

F (x, t) := e^{tx−t^{2}/2} = ∑_{n=0}^{∞} H_{n}(x)t^{n}.

これより以下の補題もほとんど明らか。補題 1.2

H′_{n}(x) = H_{n−1}(x), (n ≥ 1),
(n + 1)H_{n+1}(x) = xH_{n}(x) − H_{n−1}(x), (n ≥ 1),
H_{n}(−x) = (−1)^{n}H_{n}(x), (n ≥ 1).

Proof. 順に、 ∂F/∂x = tF, ∂F/∂t = (x − t)F, F (−x, t) = F (x, t) より明らか。 q.e.d. 練習 1.1 H_{1}(x), H_{2}(x), H_{3}(x) を求めよ。 Answer.

H_{1}(x) = x, H_{2}(x) = \frac{1}{2}(x^{2} − 1),

H_{3}(x) = \frac{1}{3}(xH_{2} − H_{1}) = \frac{1}{6}(x^{3} − 3x).

練習 1.2 H_{n}(0) を求めよ。

Answer. F (0, t) = exp(−t^{2}/2) より直ちに、 n が奇数ならば 0 で、偶数 (n = 2k) ならば (−1)^{k}/(2^{k}k!).

Hermite 多項式の本質的な性質は Gauss 測度に対して直交することである。具体的には以下の補題が成立する。

補題 1.3 (Hermite 多項式の直交関係)X, Y を結合 Gauss 分布に従う確率変数で、 E[X] = E[Y] = 0, E[X^{2}] = E[Y^{2}] = 1 なるものとすると、任意の n, m ≥ 0 に対して、

E[H_{n}(X)H_{m}(Y)] = \{ \begin{matrix}0, & (n ≠ m), \\ E[XY]^{n}/n!, & (n = m). \end{matrix}

Proof. 任意の実数 s, t について、

E[exp(sX − s^{2}/2) exp(tY − t^{2}/2)] = exp(stE[XY])

であることに注意して、両辺を s, t でそれぞれ n 回、 m 回微分して s = t = 0 とおけばよい。 q.e.d.

1.3 Wiener-Ito 分解

G を {W (h); h ∈ H} で生成された σ-加法族とする。

補題 1.4 {e^{W (h)}; h ∈ H} は L^{2}(Ω, G, P) の total な部分集合をなす。

Proof. X ∈ L^{2}(Ω, G, P) が、任意の h ∈ H に対して

E[Xe^{W (h)}] = 0

であるならば、この X が 0 であることを言えばよい。 W (h) は線型であったから、任意の実数 t_{1}, …, t_{m} と h_{1}, …, h_{m} ∈ H に対して、

E [X exp (∑_{j=1}^{m} t_{j}W (h_{j}))] = 0.

ここで m と h_{1}, …, h_{m} を固定して考えると、 R^{d} の Borel 集合 B に対して定義された符号付き測度:

ν := E [X1_{B}(W (h_{1}), …, W (h_{m}))]

のラプラス変換が恒等的に 0 であることを示しているから、この測度自体が 0 で、つまり任意の G ∈ G に対して、

E[X1_{G}] = 0.

ゆえに、 X = 0. q.e.d.

定義 1.3 (Wiener chaos) n ≥ 1 に対して、

{H_{n}(W (h)); h ∈ H, ∥h∥_{H} = 1}

で生成された L^{2}(Ω, F, P) の閉線型部分空間を H_{n} と書いて、 n 次の Wiener chaos と言う。

定理 1.1 (Wiener-Itô 分解) L^{2}(Ω, G, P) は以下のように n 次 Wiener chaos を用いて直交分解される。

L^{2}(Ω, G, P) = ⨁_{n=0}^{∞} H_{n}.

Proof. n ≠ m のとき H_{n} と H_{m} が直交していることは H_{n} の性質により既に示されている。あとは、任意の n に対して X ∈ L^{2}(Ω, G, P) が H_{n} に直交しているならば、 X = 0 であることを示せばよい。仮定より、ノルムが 1 であるような任意の h ∈ H に対して、

E[XH_{n}(W (h))] = 0

であるが、 x^{n} は n 次以下の Hermite 多項式の線型結合で表されることより、任意の n について、

E[XW (h)^{n}] = 0.

ゆえに、任意の実数 t とノルム 1 の任意の h ∈ H に対し、

E[Xe^{tW (h)}] = 0.

よって、前の補題より X = 0. q.e.d.

Example.(一次元の場合)

(Ω, F, P) = (R, B(R), ν) で、 ν を N(0, 1) (標準正規分布) に従うものとし、 H = R とする。 h ∈ H(= R) に対し、 W (h)(x) = hx である。ノルムが 1 の元は −1, +1 ∈ H の二つだけだから、対応する確率変数は x, −x の二つ。 H_{n}(x) = H_{n}(−x)(−1)^{n} を思い出せば、 H_{n} は次元 1 を持ち、 H_{n}(x) で生成されている。この特別な場合には上の定理の主張は、 H_{n}(x) が L^{2}(R, ν) で完全正規直交基底をなすということに他ならない。

定義 1.4 (n 次の多項式) n ≥ 1 に対し、

P_{n}^{0} := {p(W (h_{1}), …, W (h_{k}));
k ≥ 1, h_{1}, …, h_{k} ∈ H, p は n 次以下の k 変数多項式}

とおき、この元を (通常の意味での多項式と混乱がなければ) n 次多項式と呼ぶ。また、 L^{2} の意味で P_{n}^{0} の閉包をとったものを P_{n} と書く。

命題 1.1 (n 次多項式の空間の Wiener-Itô 分解)

P_{n} = ⨁_{j=1}^{n} H_{j}.

Proof. n 次多項式が n 次以下の Hermite 多項式の線型結合で書けることなどから容易に示される。 q.e.d.

1.4 一般化 Hermite 多項式

以下では H を無限次元としよう。有限次元の場合は易しいし、実際、無限次元の場合に含まれる。 {e_{i}}_{i=1}^{∞} を H の正規直交基底とする。

以下の記号を用意する。

Λ = {a = (a_{1}, a_{2}, …); a_{i} ∈ N∪{0}, i ≥ 1, 有限個の添字 i を除いて a_{i} = 0.}

a ∈ Λ に対し、

a! = ∏_{j=1}^{∞} a_{j}, |a| = ∑_{j=1}^{∞} a_{j}.

有限個を除いて a_{j} は 0 であるから、上の記号は well defined である。定義 1.5 (一般化 Hermite 多項式)a ∈ Λ に対し、

H_{a}(x) = ∏_{j=1}^{∞} H_{a_{j}}(x_{j}), (x = (x_{1}, x_{2}, …) ∈ R^{N})

を一般化 Hermite 多項式と言う。

命題 1.2 a ∈ Λ に対し、

Φ_{a} := \sqrt{a!} ∏_{j=1}^{∞} H_{a_{j}}(W (e_{j}))

とおくと、確率変数の族 {Φ_{a}; a ∈ Λ} は直交基底をなす。

Proof. 実際、任意の a, b ∈ Λ に対し、

E [∏ H_{a_{j}}(W (e_{j}))H_{b_{j}}(W (e_{j}))] = ∏ E [H_{a_{j}}(W (e_{j}))H_{b_{j}}(W (e_{j}))]

となって、 Hermite 多項式の性質より a = b つまり全ての j で a_{j} = b_{j} ならば、右辺は 1/a! であり、 a ≠ b つまりある j で a_{j} ≠ b_{j} ならば右辺は 0. q.e.d.

命題 1.3 任意の n ≥ 1 について、

{Φ_{a}; a ∈ Λ, |a| = n}

は、 H_{n} の中で完全正規直交系をなす。よって、これより、 {Φ_{a}; a ∈ Λ} は L^{2}(Ω, G, P) の完全正規直交系。

Proof. 上で確認した直交性、および、前章の多項式の空間についての命題と、 {e_{j}} が基底であることより直ちに従う。 q.e.d.

2 重複 Wiener 積分

2.1 Wiener 積分 (確率積分)

ここから H は特にある可測空間上の L^{2} 空間の構造を持つと仮定する。つまり、 H = L^{2}(T, B, μ) で、ここに (T, B) は可測空間であって、 μ は σ-有限かつアトムを持たないものとする。まず、この枠組みで (1 重の) 確率積分の概念を見てみよう。 H 上の Gauss 過程 W に対し、記号として、

W (A) := W (1_{A}) (A ∈ B, μ(A) < ∞)

と書くことにすると、 W (A) はパラメータ空間 (T, B) 上の L^{2}(Ω, F, P)- 値測度と考えることができる。これが T の任意の disjoint な集合上で、独立な値を取り、 W (A) は N(0, μ(A)) に従うことは定義より明らか。この視点から、 W を (T, B) 上の L^{2}(Ω)-値 Gauss 測度と呼び、これを μ に基く white noise とも言う。

さらに、一般の h ∈ H(= L^{2}(T)) に対しては W (A) による近似を考えれば、 W (h) は h の確率積分 (Wiener 積分) ：

W (h) = ∫_{T} hdW

と思うことができる。 (ただし、この積分はパスワイズに定義できない。なぜなら、 {W (A)} のパスは T 上で σ-加法的でないから。 )

次の章では、より一般に重複積分の形で定義しよう。

2.2 重複 Wiener (確率) 積分

m ≥ 1 を固定する。 f ∈ L^{2}(T^{m}, B^{m}, μ^{m}) に対する m 重の重複確率積分を定義したい。まず以下のような関数の空間 E_{m} を用意する。

E_{m} = {f(t_{1}, …, t_{m}) = ∑_{i_{1},...,i_{m}=1}^{n} a_{i_{1}...i_{m}}1_{A_{i_{1}}×···×A_{im}}(t_{1}, …, t_{m}) :

n ≥ 1, A_{1}, …, A_{n} ∈ B_{0}らは disjoint, a は添字のどの二つが一致しても 0. }

ここで、

B_{0} = {A ∈ B : μ(A) < ∞}.

これに属する関数 f は対角線 t_{i} = t_{j}(i ≠ j) に交わるような長方形の上では 0 になっていることに注意。

f ∈ E_{m} に対する重複積分を

I_{m}(f) := ∑_{i_{1},...,i_{m}}^{n} a_{i_{1}...i_{m}}W (A_{i_{1}}) ⋯ W (A_{i_{m}})

と定義する。この定義が f の表現に依らないことは定義より明らか。これは以下のような性質を持っている。命題 2.1 (i) I_{m} は線型。

(ii) f̃ を f の対称化：

f̃(t_{1}, …, t_{m}) = \frac{1}{m!} ∑_{σ} f(t_{σ(1)}, …, t_{σ(m)})

(ここで和は {1, …, m} の全ての置換でとる) とするとき、

I_{m}(f̃) = I_{m}(f).

(iii)

E[I_{m}(f)I_{m′}(g)] = \{ \begin{matrix}0, & (m ≠ m′) \\ m!⟨f̃, g̃⟩_{L^{2}(T^{m})}, & (m = m′). \end{matrix}

Proof. (i) は明らか。 (ii) は線型性より、

f(t_{1}, …, t_{m}) = 1_{A_{i_{1}}×···×A_{im}}(t_{1}, …, t_{m})

の時に示せば十分だが、この時は定義より明らか。

(iii) f, g は両方とも対称で、同じ分割 A_{1}, …, A_{n} で定義されていると仮定してよい。 m ≠ m′ の時は主張は明らか。 m = m′ として、 f, g を

f(t_{1}, …, t_{m}) = ∑_{i_{1},...,i_{m}=1}^{n} a_{i_{1}...i_{m}}1_{A_{i_{1}}×···×A_{im}}(t_{1}, …, t_{m}),
g(t_{1}, …, t_{m}) = ∑_{i_{1},...,i_{m}=1}^{n} b_{i_{1}...i_{m}}1_{A_{i_{1}}×···×A_{im}}(t_{1}, …, t_{m})

と書くと、

E[I_{m}(f)I_{m}(g)] = E[( ∑_{i_{1}<···<i_{m}} m!a_{i_{1}...i_{m}}W (A_{i_{1}}) ⋯ W (A_{i_{m}}))
× ( ∑_{i_{1}<···<i_{m}} m!b_{i_{1}...i_{m}}W (A_{i_{1}}) ⋯ W (A_{i_{m}})) ]
= ∑_{i_{1}<···<i_{m}}(m!)^{2}a_{i_{1}...i_{m}}b_{i_{1}...i_{m}}μ(A_{i_{1}}) ⋯ μ(A_{i_{m}})
= m!⟨f, g⟩_{L^{2}(T^{m})}.

q.e.d.

上の (iii) で f = g とおけば、

E[I_{m}(f)^{2}] = m!∥f̃∥_{L^{2}(T^{m})}^{2} ≤ m!∥f∥_{L^{2}(T^{m})}^{2}

であるから、 I_{m} を L^{2}(T^{m}) に拡張するには、あと以下が示せれば良い。

命題 2.2 E_{m} は L^{2}(T^{m}) で稠密。

Proof. 任意の集合 A = A_{1} × ⋯ A_{m} (A_{1}, …, A_{m} ∈ B_{0}) の index 関数 1_{A} が E_{m} の元でいくらでも近似できれば良い。 atom が存在しないことより、与えられた任意の ϵ > 0 に対し、 B_{0} の互いに disjoint な元の系 {B_{1}, …, B_{n}} で、 μ(B_{j}) < ϵ (j = 1, …, n) かつ、各 A_{i} が B_{j} のいくつかの和で表せるものが存在する。

α := μ(∪_{i=1}^{m}A_{i}) とおく。

1_{A} = ∑_{i_{1},...,i_{m}=1}^{n} ϵ_{i_{1}···i_{m}}1_{B_{i_{1}}×···×B_{im}}

(ここに係数 ϵ_{i_{1}···i_{m}} は 0 か 1) を二つに分けて考える。すなわち、互いに異なる添字からなるからなる集合 I と、それ以外の集合 J の上の和に分ける。

1_{B} := ∑_{(i_{1},...,i_{m})∈I} ϵ_{i_{1}···i_{m}}1_{B_{i_{1}}×···×B_{im}}

とおくと、これはもちろん E_{m} に属している。 B ⊂ A であるから、

∥1_{A} − 1_{B}∥_{L^{2}(T^{m})}^{2} = ∑_{(i_{1},...,i_{m})∈J} ϵ_{i_{1}···i_{m}}μ(B_{i_{1}}) ⋯ μ(B_{i_{m}})
≤ ( \begin{matrix}m \\ 2 \end{matrix} ) ∑_{i=1}^{n} μ(B_{i})^{2} (∑_{i=1}^{n} μ(B_{i}))^{m−2}
≤ ( \begin{matrix}m \\ 2 \end{matrix} ) nϵ^{2}α^{m−2} ≤ ( \begin{matrix}m \\ 2 \end{matrix} ) ϵα^{m−1}.

q.e.d.

以上より、 I_{m} は L^{2}(T^{m}) から L^{2}(Ω, F, P) への線型かつ連続な作用素として拡張され、この章の最初の命題 (i) から (iii) が成立している。この I_{m}(f) のことを、

I_{m}(f) = ∫_{T^{m}} f(t_{1}, …, t_{m})W (dt_{1}) ⋯ W (dt_{m})

とも書く。

2.3 重複 Wiener 積分の積公式

定義 2.1 (r 次の縮約) p, q ∈ N に対して、 f ∈ L^{2}(T^{p}), g ∈ L^{2}(T^{q}) を両方とも対称とする。このとき、 1 ≤ r ≤ p ∧ q に対して、

(f ⊗_{r} g)(t_{1}, …, t_{p+q−2r})

:= ∫_{T^{r}} f(t_{1}, …, t_{p−r}, s_{1}, …, s_{r})g(t_{p+1}, …, t_{p+q−r}, s_{1}, …, s_{r})μ(ds_{1}) ⋯ μ(ds_{r})

で定義された f ⊗_{r} g ∈ L^{2}(T^{p+q−2r}) を f, g の r 次の縮約と言う。

また、 f, g のテンソル積を f ⊗ g と書く。 f, g が対称であっても、縮約もテンソル積も対称とは限らない。そこでそれらを対称化したものを、

f ˜⊗_{r}g, f ˜⊗g

と書くことにする。この時、以下の関係が成立する。

補題 2.1 f ∈ L^{2}(T^{p}) が対称、 g ∈ L^{2}(T) であるならば、

I_{p}(f)I_{1}(g) = I_{p+1}(f ⊗ g) + pI_{p−1}(f ⊗_{1} g).

Proof. f は B_{0} の disjoint な元 A_{1}, …, A_{p} の直積 A_{1} × ⋯ × A_{p} の定義関数の対称化として証明すれば十分。さらに、 g は以上の A_{1}, …, A_{p} のどれとも disjoint な集合 A_{0} ∈ B_{0} の定義関数であるか、または、 A_{1} の定義関数であるとして良い。前者の g = 1_{A_{0}} のときには、 f ⊗ g ∈ E_{p+1} かつ f ⊗_{1} g = 0 であることより明らか。以下、 g = 1_{A_{1}} の場合を考えよう。

β := μ(A_{1}) ⋯ μ(A_{p})

とおく。 ϵ > 0 が任意に与えられたとき、各 i = 1, …, n で μ(B_{i}) < ϵ となるように、 A_{1} の分割：

A_{1} = B_{1} ∪ ⋯ ∪ B_{n}

をとることができる。これを用いて、

h_{ϵ} := ∑_{i≠j} 1_{B_{i}×B_{j}×A_{2}×···×A_{p}}

と定義すると、

I_{p}(f)I_{1}(g) = W (A_{1})^{2}W (A_{2}) ⋯ W (A_{p})
= ∑_{i≠j} W (B_{i})W (B_{j})W (A_{2}) ⋯ W (A_{p})
+ μ(A_{1})W (A_{2}) ⋯ W (A_{p})
+ ∑_{i}(W (B_{i}) − μ(B_{i}))W (A_{2}) ⋯ W (A_{p})
= I_{p+1}(h_{ϵ}) + pI_{p−1}(f ⊗_{1} g) + R_{ϵ}.

ここで、

∥h̃_{ϵ} − f ˜⊗g∥_{L^{2}(T^{p+1})}^{2} = ∥h̃_{ϵ} − ˜1_{A_{1}×A_{1}×A_{2}×···×A_{p}}∥_{L^{2}(T^{p+1})}^{2}
≤ ∥h_{ϵ} − 1_{A_{1}×A_{1}×A_{2}×···×A_{p}}∥_{L^{2}(T^{p+1})}^{2}
= ∑_{i} μ(B_{i})μ(A_{2}) ⋯ μ(A_{p}) ≤ ϵβ

と

E[R_{ϵ}^{2}] = 2 ∑_{i} μ(B_{i})^{2}μ(A_{2}) ⋯ μ(A_{p}) ≤ 2ϵβ

に注意すれば、主張が従う。 q.e.d.

上の補題を帰納的に用いることで、以下の命題が得られる。これは重複 Wiener 積分の積が従う代数的関係として、以下で基本的な役割を果たす。

命題 2.3 f ∈ L^{2}(T^{p}), g ∈ L^{2}(T^{q}) が対称ならば、

I_{p}(f)I_{q}(g) = ∑_{r=0}^{p∧q} r! ( \begin{matrix}p \\ r \end{matrix} ) ( \begin{matrix}q \\ r \end{matrix} ) I_{p+q−2r}(f ⊗_{r} g).

Proof. g_{1}, g_{2} をそれぞれ q − 1 変数、 1 変数で、 g_{1} ⊗_{1} g_{2} = 0 であるものとして、 g = g_{1} ˜⊗g_{2} と書けるときに考えれば十分。あとは、前補題を用いて q についての帰納法を適用すれば良い。 q.e.d.

2.4 重複 Wiener 積分と Wiener chaos の対応

以下のように m 次の重複 Wiener 積分は m 次の Wiener chaos と対応している。定理 2.1 H_{m}(x) を m 次の Hermite 多項式とし、 h ∈ H(= L^{2}(T)), ∥h∥_{H} = 1 とすると、

m!H_{m}(W (h)) = ∫_{T^{m}} h(t_{1}) ⋯ h(t_{m})W (dt_{1}) ⋯ W (dt_{m}).

さらにこれより、 I_{m} は L^{2}(T^{m}) を m 次の Wiener chaos H_{m} にうつし、任意の二乗可積分確率変数 F ∈ (Ω, G, P) は、

F = ∑_{m=0}^{∞} I_{m}(f_{m})

のように重複 Wiener 積分によって級数展開される。 (ここで、 f_{0} = E[f] で I_{0} は定数上の恒等写像。 ) また、この展開は f_{m} ∈ L^{2}(T^{m}) を対称なものにとることにすれば、 F に対して一意に定まる。

Proof. m についての帰納法で示す。 m = 1 のときは明らか。 m 以下で成立していると仮定する。 h^{⊗m}(t_{1}, …, t_{m}) = h(t_{1}) ⋯ h(t_{m}) と書くと、 Hermite 多項式の性質と、前章の重複積分の積公式より、

I_{m+1}(h^{⊗(m+1)}) = I_{m}(h^{⊗m})I_{1}(h) − mI_{m−1} (h^{⊗(m−1)} ∫_{T} h(t)^{2}μ(dt))
= m!H_{m}(W (h))W (h) − m(m − 1)!H_{m−1}(W (h))
= m!(m + 1)H_{m+1}(W (h)) = (m + 1)!H_{m+1}(W (h)).

よって、任意の m で成立。

L^{2}(T^{m}) の中の対称な関数のなす閉部分空間の I_{m} による像は閉で、また、上の関係より H_{m}(W (h)(h ∈ H, ∥h∥ = 1) を含むから、 H_{m} 全体を含む。そして、異なる次数において重複積分が直交していることより、他の H_{n} (n ≠ m) と直交することから、後の主張は明らか。 q.e.d.

上と同じ議論を用いて、 H_{m} の完全正規直交基底の要素が、

\sqrt{a!} ∏_{j=1}^{∞} H_{a_{j}}(W (e_{j})) = ∏_{j=1}^{∞} \frac{1}{\sqrt{a}!}I_{a_{j}} (e_{j}^{⊗a_{j}} )
= I_{|a|} (\frac{1}{\sqrt{a}!}e_{1}^{⊗a_{1}} ⊗ e_{2}^{⊗a_{2}} ⊗ ⋯ ⊗ e_{M}^{⊗a_{M}} ) ,
(a = (a_{1}, …, a_{M}, 0, 0, …), |a| = a_{1} + ⋯ + a_{M} = m)

と書かれることも分かる。

3 伊藤積分

3.1 ブラウン運動

前章の枠組みでブラウン運動を定義しておこう。

T = R_{+} × {1, …, d} とし、 μ を R_{+} 上の Lebesgue 測度と {1, …, d} 上の (各点に mass が 1 ずつ乗った) 一様測度の直積とする。この上の L^{2} 空間として Hilbert 空間 H = L^{2}(T, μ) ≃ L^{2}(R_{+}; R^{d}) を設定し、この上の Gauss 過程を考えたときの、

W^{i}(t) := W ([0, t) × {i}), (0 ≤ t ≤ 1, i = 1, …, d)

を d 次元標準ブラウン運動と言う。すなわち、 {W^{i}(t), t ∈ R_{+}}, i = 1, …, d は独立で、平均 0, 分散が

E[W^{i}(s)W^{i}(t)] = s ∧ t

であるような Gauss 過程であり、 H 上の Gauss 過程であることを意識すると、確率変数 W (h) は、

W (h) = ∑_{j=1}^{d} ∫_{0}^{∞} h_{t}^{j}W (dt^{i}), (h ∈ H)

となっている。任意の s, t ≥ 0 と i = 1, …, d に対して、

E[|W^{i}(t) − W^{i}(s)|^{2}] = |t − s|

であるから、 k ≥ 2 に対して、

E[|W^{i}(t) − W^{i}(s)|^{2k}] = \frac{(2k)!}{2^{k}k!}|t − s|^{k}.

よって、 Kolmogorov の連続性条件より、 W は連続な version を持つ。以上によって、 Ω = C_{0}(R_{+}; R^{d}) 上の d 次元ブラウン運動が構成された。この確率過程 W の法則を Wiener 測度と言う。

この時、重複 Wiener 積分はブラウン運動についての伊藤の意味での重複確率積分と考えられる。このことを以下で順に見て行こう。

3.2 伊藤積分の定義

前章で定義したブラウン運動を W = {W (t), t ≥ 0} とし、 (Ω, F, P) 上で定義されているとする。すなわち、 Ω = C_{0}(R_{+}) で、 P はその上の確率測度、 F は Ω 上の Borel σ-加法族を P について完備化したもの。 ω(t) := W_{t}(ω) は期待値 0 で、分散 E[W_{s}W_{t}] = s ∧ t を持つ Gauss 過程である。

前章で見た評価から直ちに分かるように、

S_{n}(t) = ∑_{1≤k≤2^{n}} \{w (t\frac{k}{2^{n}} ) − w (t\frac{k − 1}{2^{n}})\}^{2}

は、 n → ∞ とするとき、 a.s. かつ L^{2} の意味で t に収束する。つまり、ブラウン運動の経路 (path) の二次変分は t である。この事実と経路の連続性より、 W の経路は任意の有界区間上で全変動無限大になってしまい、与えられた確率過程 u = {u(t), t ≥ 0} に対して pathwise には (つまり各経路ごとには)、確率積分 ∫_{0}^{t} u(s)W (ds) を定義することは出来ない。

Remark. もし u の経路が有界区間で有限な全変動を持てば、形式的な部分積分

∫_{0}^{t} u(s)W (ds) = u(t)W (t) − ∫_{0}^{t} W (s)u(ds)

によって左辺を定義することが考えられる。しかし、 W 自身がそうであるように、多くの場合において確率過程は任意の有界区間で全変動無限大である。

各 t ≥ 0 に対し、確率変数 W (s), 0 ≤ s ≤ t と F の全ての null set から生成される σ-加法族を F_{t} と書く。この時、この加法族に「適合する (adapted)」過程を以下で定義する。

定義 3.1 (適合的な確率過程 (適合過程))任意の t ≥ 0 について、確率過程 u(t) が F_{t}-可測であるとき、 u(t) は適合的 (adapted) である、または適合過程であると言う。

以下、時間の区間を固定して T と書く (例えば、 T = [0, t_{0}] や T = R_{+} など) 。また λ^{1} を 1 次元の Lebesgue 測度として、

L^{2}(T × Ω) := L^{2}(T × Ω, B(T) ⊗ F, λ^{1} × P)

とおいて、 adapted な過程のみでなるその部分空間を

L_{a}^{2}(T × Ω)(⊂ L^{2}(T × Ω))

と書く。このとき、以下のように基本になる関数空間を用意する。

E_{a} := { u(t) ∈ L^{2}(T × Ω) ; u(t) = ∑_{j=1}^{n} F_{j}1_{(t_{j},t_{j+1}]}(t),
∃0 ≤ t_{1} ≤ ⋯ ≤ t_{n+1}, (t_{j} ∈ T),
各 F_{j} は F_{t_{j}}-可測かつ二乗可積分な確率変数 }

補題 3.1 E_{a} は L_{2}^{a}(T × Ω) で稠密。

Proof. T = [0, 1] としてよい。 u ∈ L_{a}^{2}(T × Ω) に対して、

ũ_{n}(t) := ∑_{i=1}^{2^{n}−1} 2^{n} (∫_{(i−1)/2^{n}}^{i/2^{n}} u(s)ds) 1_{((i−1)/2^{n},i/2^{n}]}(t), (n = 1, 2, …)

とおくと、 L^{2} の意味で、

ũ_{n}(t) → u, (in L^{2}(T × Ω))

となる近似列である。実際、 P_{n}(u) := ũ_{n} と言う作用素 P_{n} は、線型かつノルムは 1 以下で有界。 q.e.d.

Remark.(発展的可測, progressively measureable)

可測な u : T × Ω → R について、その [0, t] × Ω への制限が任意の t ∈ T に対して B[0, t] ⊗ F_{t}-可測であるとき、発展的可測 (progressively measureble) であると言う。任意の適合的な過程は発展的可測な version をとることができるので (この事実は自明ではない)、以下常にこの version をとり適合的な過程は発展的可測であるとする。これは、例えば、上の補題での近似関数が適合的であることを保証するのに必要である。

さて、まず E_{a} の元:

u(t) = ∑_{j=1}^{n} F_{j}1_{(t_{j},t_{j+1}]}(t), (F_{j} は F_{t_{j}}-可測かつ二乗可積分)

に対して、ブラウン運動 W についての伊藤積分 (確率積分) を以下の確率変数：

∫_{T} u(t)dW_{t} := ∑_{j=1}^{n} F_{j} (W (t_{j+1} − W (t_{j}))

で定義しよう。

この u ∈ E_{a} の伊藤積分は L^{2}(Ω) に値をとる線型な汎関数であり、以下の性質を満たす。

命題 3.1

E [∫_{T} u(t)dW_{t}] = 0,
E [|∫_{T} u(t)dW_{t}|^{2}] = E [∫_{T} u(t)^{2}dt] .

Proof. 第一式は、 F_{j} と W (t_{j+1}) − W (t_{j})) は独立だから、定義より明らか。第二式については、

E [|∫_{T} u(t)dW_{t}|^{2}] = ∑_{j=1}^{n} E [|F_{j} (W (t_{j+1}) − W (t_{j}))|^{2}]
+ 2 ∑_{i<j} E [F_{i}F_{j} {W (t_{i+1}) − W (t_{i})}{W (t_{j+1}) − W (t_{j})}]
= ∑_{j=1}^{n} E[F_{j}^{2}] (t_{j+1} − t_{j}) = E [∫_{T} u(t)^{2}dt] .

q.e.d

上の命題の第二式は等長性を表しているから、我々は伊藤積分の定義を L_{a}^{2}(T × Ω) に拡張することが出来て、上の性質がそのまま成立する。

命題 3.2 (i)(局所性)

集合 {∫_{T} u(t)^{2}dt = 0} 上で ∫_{T} u(t)dW_{t} = 0, a.s.

(ii) 任意の u ∈ L_{a}^{2}(T × Ω) と、 ϵ > 0, K > 0 に対して、

P (\{|∫_{T} u(t)dW_{t}| > ϵ\}) ≤ P (\{∫_{T} u(t)^{2}dt > K\}) + \frac{K}{ϵ^{2}} .

Proof. (i) はこの集合上で、 u の近似列 ũ^{n} が 0 であることからその伊藤積分も 0 であるから、 L^{2} 収束によって直ちに主張が従う。

(ii)

ũ(t) := u(t)1_{{∫_{0}^{t} u(s)^{2}ds≤K}}

とおくと、 ũ(t) ∈ L_{a}^{2}(T × Ω) であって、 (i) の局所性から、

P ({|∫_{T} u(t)dW_{t}| > ϵ, ∫_{T} u(t)^{2}dt ≤ K})

= P ({|∫_{T} ũ(t)dW_{t}| > ϵ, ∫_{T} u(t)^{2}dt ≤ K})

≤ P (\{|∫_{T} ũ(t)dW_{t}| > ϵ\}) ≤ \frac{1}{ϵ^{2}} E [∫_{T} ũ(t)^{2}dt] ≤ \frac{K}{ϵ^{2}} .

q.e.d.

上の命題より、伊藤積分の定義はさらに、可測かつ適合的で、

∫_{T} u(t)^{2}dt < ∞, a.s.

であるような確率過程 u(t) のクラスにまで拡張できて、今まで見た性質を全て満たす。

3.3 マルチンゲールとしての伊藤積分

以下で伊藤積分のマルチンゲール性について、簡単にふりかえっておこう。

u ∈ L_{a}^{2}(T × Ω) とすると、不定積分

∫_{0}^{t} u(s)dW_{s} = ∫_{T} u(s)1_{[0,t)}(s)dW_{s}, (t ∈ T)

は σ-加法族の増大列 {F_{t}, t ≥ 0} に対してマルチンゲールである。実際、 u ∈ E_{a} に対しては明らかにマルチンゲールの定義を満たし、一般の場合には L^{2} 収束で直ちに拡張される。

今、 u ∈ E_{a} として、

u(t) = ∑_{j=1}^{n} F_{j}1_{(t_{j},t_{j+1}]}(t)

(F_{j} は F_{t_{j}}-可測、 0 ≤ t_{1} < ⋯ < t_{n+1}, t_{j} ∈ T) と書かれているとすると、マルチンゲール

∫_{0}^{t} u(s)dW_{s} = ∑_{j=1}^{n} F_{j} (W (t_{j+1} ∧ t) − W (t_{j} ∧ t))

は明らかに連続な version を持つ。一般に、 u ∈ L_{a}^{2}(T ×Ω) での ∫_{0}^{t} u(s)dW_{s} も連続な version を持つのであった (これは自明ではない)。

u を可測、適合的、 ∫_{T} u(t)^{2}dt < ∞ とするとき、上の不定伊藤積分は連続な局所マルチンゲールである。すなわち、 n ≥ 1 について

T_{n} := inf{t ≥ 0; ∫_{0}^{t} u(s)^{2}ds ≥ n}

と定義すれば、 T_{n} ↗ ∞ (n → ∞) となるマルコフ時間で (つまり、任意の t で {T_{n} ≤ t} ∈ F_{t})、

M_{n}(t) := ∫_{0}^{t} u(s)1_{{s≤T_{n}}}dW_{s}

は連続二乗可積分マルチンゲールであり、 t ≤ T_{n} について、

M_{n}(t) = ∫_{0}^{t} u(s)dW_{s}.

(u1_{[0,T_{n}]} ∈ L_{a}^{2}(T × Ω) に注意。 )

この連続な局所マルチンゲール

M(t) = ∫_{0}^{t} u(s)dW_{s}

に対して、

⟨M⟩_{t} := ∫_{0}^{t} u(s)^{2}ds

とおくと、 M_{t}^{2} − ⟨M⟩_{t} はマルチンゲールになる。これは u ∈ E_{a} のときは定義より明らかで、一般の u ∈ L_{a}^{2}(T × Ω) のときは標準的な近似の議論で示せる。

以下の命題の主張の性質から、この増加過程 ⟨M⟩_{t} を、局所マルチンゲール M の二次変分 (quadratic variation) と呼ぶ。

命題 3.3 区間の分割 π = {0 = t_{0} < t_{1} < ⋯ < t_{n} = t} について、 |π| := max_{i} |t_{i+1} − t_{i}| → 0 のとき、

∑_{i=0}^{n−1}(M_{t_{i+1}} − M_{t_{i}})^{2} → ∫_{0}^{t} u(s)^{2}ds in prob.

Proof. ある定数 K > 0 で ∫_{0}^{t} u(s)^{2}ds ≤ K と押さえられている時に示せば十分だが、この時、 L^{2}(Ω) で成立。実際、 M_{t}^{2} − ⟨M⟩_{t} が二乗可積分マルチンゲールであること、および Burkholder の不等式より、

E [|∑_{i=0}^{n−1} ∫_{t_{i}}^{t_{i+1}} u(s)^{2}ds − (M_{t_{i+1}} − M_{t_{i}})^{2}|^{2}]

= ∑_{i=0}^{n−1} E [|∫_{t_{i}}^{t_{i+1}} u(s)^{2}ds − (M_{t_{i+1}} − M_{t_{i}})^{2}|^{2}]
≤ c ∑_{i=0}^{n−1} E [|∫_{t_{i}}^{t_{i+1}} u(s)^{2}ds|^{2}]
≤ cKE [ sup_{|s−r|≤|π|} ∫_{s}^{r} u(θ)^{2}dθ] → 0.

q.e.d

確率解析で最も重要なツールの一つが「伊藤の公式」である。準備のために、以下の定義を用意する。

定義 3.2 (セミマルチンゲール (伊藤過程))確率過程 X_{t} が、任意の τ ∈ T について

∫_{0}^{τ} u(s)^{2}ds < ∞, a.s., ∫_{0}^{τ} |v(s)|ds < ∞, a.s.

を満たすような可測かつ適合的な確率過程 u, v でもって、

X_{t} = X_{0} + ∫_{0}^{t} u(s)dW_{s} + ∫_{0}^{t} v(s)ds

と表されるとき、この X_{t} をセミマルチンゲール、または伊藤過程と言う。

このセミマルチンゲールに対して、次の変数変換公式、つまり伊藤の公式が成立する。

定理 3.1 (伊藤の公式) F : R → R を二階連続微分可能であるとし、 X_{t} を

X_{t} = X_{0} + ∫_{0}^{t} u_{s}dW_{s} + ∫_{0}^{t} v_{s}ds

と書かれているセミマルチンゲールとするならば、

F (X_{t}) = F (X_{0}) + ∫_{0}^{t} F′(X_{s})u_{s}dW_{s} + ∫_{0}^{t} F′(X_{s})v_{s}ds + \frac{1}{2} ∫_{0}^{t} F′′(X_{s})u_{s}^{2}ds.

Proof. 証明の概略のみを与える。

F ∈ C_{b}^{2}(R) で、 ∫_{t} u_{t}^{2}dt も ∫_{T} |v_{t}|dt もある定数 K > 0 で押さえられているとして証明すれば十分。

区間の分割 π = {0 = t_{0} < t_{1} < ⋯ < t_{n} = t} を任意に取ると、 Taylor の定理より、

F (X_{t}) − F (X_{0}) = ∑_{i=0}^{n−1} (F (X_{t_{i+1}}) − F (X_{t_{i}}))

= ∑_{i=0}^{n−1} F′(X_{t_{i}})(X_{t_{i+1}} − X_{t_{i}}) + \frac{1}{2} ∑_{i=0}^{n−1} F′′(X̄_{i})(X_{t_{i+1}} − X_{t_{i}})^{2}.

ここに、 X̄_{i} は X_{t_{i}} と X_{t_{i+1}} の間の点。 |π| → 0 のとき、この最初の和が L^{2}(Ω) の意味で、

→ ∫_{0}^{t} F′(X_{s})u_{s}dW_{s} + ∫_{0}^{t} F′(X_{s})v_{s}ds

と収束することは容易に確かめられる。残りの和については、

(X_{t_{i+1}} − X_{t_{i}})^{2} = (∫_{t_{i}}^{t_{i+1}} u_{s}dW_{s})^{2}
+ (∫_{t_{i}}^{t_{i+1}} u_{s}dW_{s}) (∫_{t_{i}}^{t_{i+1}} v_{s}ds) + (∫_{t_{i}}^{t_{i+1}} v_{s}ds)^{2}

と展開してみれば、この内、極限に寄与するのは第一項のみ。よって、示すべきことは、

∫_{0}^{t} F′′(X_{s})u_{s}^{2}ds − ∑_{i=0}^{n−1} F′′(X̄_{i}) (∫_{t_{i}}^{t_{i+1}} u_{s}dW_{s})^{2}

= ∑_{i=0}^{n−1} ∫_{t_{i}}^{t_{i+1}}(F′′(X_{s}) − F′′(X_{t_{i}}))u_{s}^{2}ds
+ ∑_{i=0}^{n−1}(F′′(X_{t_{i}}) − F′′(X̄_{i})) (∫_{t_{i}}^{t_{i+1}} u_{s}dW_{s})^{2}
+ ∑_{i=0}^{n−1} F′′(X_{t_{i}}) (∫_{t_{i}}^{t_{i+1}} u_{s}^{2}ds − (∫_{t_{i}}^{t_{i+1}} u_{s}dW_{s})^{2})

が 0 に収束することである。この第一項と第二項の絶対値はともに、 sup_{|s−r|<|π|} |F′′(X_{s})−F′′(X_{r})| の定数倍で上から押さえられるから、 |π| → 0 の極限で 0 に確率収束する。最後の項については、その二乗平均を計算すると M_{t}^{2} − ⟨M⟩_{t} のマルチンゲール性と Burkhodler の不等式より、 0 に収束することがわかる。 (この最後の評価は二次変分についての前命題の証明を参照せよ。 ) q.e.d.

練習 3.1 (Stratonovich 積分) π = {0 = t_{0} < t_{1} < ⋯ < t_{n} = t} を [0, t] の分割とすると、 |π| → 0 のとき、

∑_{j=0}^{n−1} \frac{X_{t_{j}} + X_{t_{j+1}}}{2} (W_{t_{j+1}} − W_{t_{j}}) → ∫_{0}^{t} X_{s}dW_{s} + \frac{1}{2} ∫_{0}^{t} u_{s}d_{s}

と確率収束する。この右辺を X の W についての Stratonovich 積分と言い、

∫_{0}^{t} X_{s} ∘ dW_{s}

と書く。

練習 3.2 (指数マルチンゲール (expornential martingale))u ∈ L_{a}^{2}(T × Ω) に対し、

M_{u}(t) := exp \{∫_{0}^{t} u_{s}dW_{s} − \frac{1}{2} ∫_{0}^{t} u_{s}^{2}ds\}

とおくと、伊藤の公式より、

M_{u}(t) = 1 + ∫_{0}^{t} M_{u}(s)u(s)dW_{s}

となるから、 M_{u}(t) は局所マルチンゲールである。特に u = h ∈ L^{2}(T) と deterministic ならば、 M_{h}(t) は二乗可積分マルチンゲール。

次の定理とその系は、二乗可積分確率変数、特にマルチンゲールの伊藤積分による表現を保証するものである。

定理 3.2 F が二乗可積分な確率変数ならば、

F = E[F] + ∫_{T} u_{t}dW_{t}

となるような u ∈ L_{a}^{2}(T × Ω) が一意に存在する。

Proof. 全ての u ∈ L_{a}^{2}(T × Ω) に対して ∫_{T} u_{t}dW_{t} に直交するような期待値 0 の二乗可積分確率変数 G は 0 に他ならないことを示せば十分。上の練習問題の指数マルチンゲールの公式より、そのような G は

exp \{∫_{T} h_{s}dW_{s} − \frac{1}{2} ∫_{T} h_{s}^{2}ds\} (h ∈ L^{2}(T))

に直交していることになるが、このような G は 0 しかない。 q.e.d.

この定理より直ちに次の系が得られる。

系 3.1 区間 T 上の二乗可積分マルチンゲール M_{t} は、以下のような伊藤積分による一意な表現を持つ。

M_{t} = E[F] + ∫_{0}^{t} u_{s}dW_{s}.

ここに、 F は M_{t} = E[F |F_{t}] となる二乗可積分な確率変数。

以前に定義した重複積分と伊藤積分の関係に注意を促しておこう。

Remark. f_{n} : T^{n} → R を対称かつ二乗可積分とすると、前に定義したガウス過程 {W (h) = ∫_{T} h_{s}dW_{s}, h ∈ L^{2}(T)} についての重複積分 I_{n}(f_{n}) は、以下のように重複伊藤積分と一致する。すなわち、 T = R^{+} とすると、

I_{n}(f_{n}) = n! ∫_{0}^{∞} ∫_{0}^{t_{n}} ⋯ ∫_{0}^{t_{2}} f_{n}(t_{1}, …, t_{n})dW_{t_{1}} ⋯ dW_{t_{n}}.

また、 {W_{t}; t ≥ 0} が d 次元ブラウン運動のときは、変数 (t_{j}, i_{j}) ∈ R^{+} × {1, …, d} について対称な f_{n}((t_{1}, i_{1}), …, (t_{n}, i_{n})) に対し、上と同様に、

I_{n}(f_{n}) = n! ∑_{i_{1},...,i_{n}=1}^{d} ∫_{0}^{∞} ∫_{0}^{t_{n}} ⋯ ∫_{0}^{t_{2}} f_{n}((t_{1}, i_{1}), …, (t_{n}, i_{n}))dW_{t_{1}}^{i_{1}} ⋯ dW_{t_{n}}^{i_{n}}.

が成立する。

練習 3.3 上の関係を f_{n} ∈ E のときに確認せよ。

4 微分作用素 D

4.1 微分 DF の導入

この章では二乗可積分な確率変数 F : Ω → R の微分 DF を導入する。パラメータ ω ∈ Ω についての微分を考えたいのだが、確率変数 F は P -a.s に定義されているので、必ずしも連続な version を持っていないとしなければならない。よって、この微分 DF は Ω の位相を何ら仮定しない、弱い意味での「微分」と言うことになる。

これまでの章に引き続き、 H は H = L^{2}(T, B, μ) と言う構造を持つ Hilbert 空間とする。ここで、 μ は σ-有限でアトムを持たない測度。今まで通り、 W = {W (h), h ∈ H} をこの Hilbert 空間 H 上の Gauss 過程とし、 W は complete な確率空間 (Ω, F, P) 上で定義されており、また F は W で生成されているものとする。

無限回連続微分可能な関数 f : R^{n} → R で、その偏微分が全て多項式的な増大度を持つようなもの全体を C_{p}^{∞}(R^{n}) と書く。このような関数 f ∈ C_{p}^{∞}(R^{n}) と、 h_{1}, …, h_{n} ∈ H, n ≥ 1 によって、

F = f(W (h_{1}), …, W (h_{n}))

の形に表すことのできる確率変数 F 全体を S と書き、このような F を簡単に「なめらかである」とも言う。

このなめらかな関数 F で、特に上の形に書いたときの無限回連続微分可能関数 f が f とその全ての偏微分が有界であるようなクラス C_{b}^{∞} に属するもの全体を S_{b} と書く。同様に、 f がコンパクト台を持つようなクラス C_{0}^{∞} に属するもの全体を S_{0} と書く。また f が多項式であるような確率変数 F 全体を P と書く。ここで、これらのクラスの間の包含関係、 S_{0} ⊂ S_{b} ⊂ S, P ⊂ S と、 S_{0} と P が L^{2} の意味で S で稠密であることに注意せよ。

定義 4.1 (微分 DF) なめらかな確率変数 F が上のように書かれているとき、

D_{t}F = ∑_{j=1}^{n} \frac{∂f}{∂x_{j}} (W (h_{1}), …, W (h_{n}))h_{j}(t)

で与えられる確率過程 {D_{t}F, t ∈ T } を F の微分と言う。

この DF は T をパラメータ空間として持つから、 DF は L^{2}(T × Ω) ≅ L^{2}(Ω; H) の元と考えられる。 (実際、 DF ∈ ∩_{p≥2}L^{p}(Ω; H).) また、任意の h ∈ H について、

⟨DF, h⟩_{H} = lim_{ϵ→0} \frac{1}{ϵ}[f(W (h_{1}) + ϵ⟨h_{1}, h⟩_{H}, …, W (h_{n}) + ϵ⟨h_{n}, h⟩_{H}))
−f(W (h_{1}), …, f(W_{n}))]

であることに注意すれば、 DF を方向微分であるとも考えられる。荒っぽく言えば、 ⟨DF, h⟩_{H} は、確率変数 F のずらしたホワイトノイズ W (A)+ ϵ ∫_{A} hdμ に対する ϵ = 0 での微分である。

例 1.

最も単純な場合として F (w) = W (h) のとき、 D_{t}F = h(t).

例 2. [d-次元ブラウン運動の場合]

最も重要な例の一つとして、区間 [0, 1] 上の d-次元ブラウン運動 (Ω = C([0, 1]; R^{d})) の場合を考える。このとき、 ⟨DF, h⟩_{H} は方向 Fréchet 微分と考えられることを以下で見よう。

Ω の部分空間 H^{1} を以下で定義する。

H^{1} := {x : [0, 1] → R^{d}; x は絶対連続で、
x(t) =: ∫_{0}^{t} ẋ(s)ds と書いたときẋ ∈ H = L^{2}([0, 1]; R^{d})}

この H^{1} のことを Cameron-Martin 部分空間と言う。 H の Hilbert 構造を使って、 H^{1} も

⟨x, y⟩_{H^{1}} := ⟨ẋ, ẏ⟩_{H} = ∑_{j=1}^{d} ∫_{0}^{1} ẋ^{j}(s)ẏ^{j}(s)ds

と内積を定義することで Hilbert 空間になり、 H と等長同型。しかも、この H^{1} の Ω への埋め込みは

sup_{0≤t≤1} |x(t)| ≤ ∫_{0}^{1} |ẋ(s)|ds ≤ ∥ẋ∥_{H} = ∥x∥_{H^{1}}

より、連続である。

以下、簡単のため d = 1 としよう。一般の場合も同様である。確率変数 F が F = f(W (t_{1}), …, W (t_{n})), f ∈ C_{p}^{∞}(R^{n}), ここに、

W (t_{j}) = ∫_{0}^{t_{j}} dW_{t} = W (1_{[0,t_{j}]}), (0 ≤ t_{1} < ⋯ < t_{n} ≤ 1)

と書かれている特別な場合を考えよう。つまり F はいくつかの異なる時間におけるブラウン運動の値のなめらかな関数であり、 Ω で連続であることに注意せよ。

したがって、任意の h ∈ H について ⟨DF, h⟩_{H} は F の ∫_{0}^{·} h(s)ds 方向への方向微分に一致して、 H^{1} に属する。実際、

⟨DF, h⟩_{H} = ∑_{j=1}^{n} \frac{∂f}{∂x_{j}} (W (t_{1}), …, W (t_{n}))⟨1_{[0,t_{j}]}, h⟩_{H}
= ∑_{j=1}^{n} \frac{∂f}{∂x_{j}} (W (t_{1}), …, W (t_{n})) ∫_{0}^{t_{j}} h(s)ds
= \frac{d}{dϵ}F (w + ϵ ∫_{0}^{·} h(s)ds) |_{ϵ=0}.

4.2 部分積分公式

前章で定義した微分と、 Ω 上の積分 (つまり期待値) の間で以下の意味で部分積分の公式が成立する。これらの公式は Malliavin 解析の理論において、基本となる働きをする。

補題 4.1 (部分積分公式 1)F ∈ S と h ∈ H = L^{2}(T) について、

E[ ⟨DF, h⟩_{H} ] = E[ F W (h) ].

Proof. 正規化して考えて、 ∥h∥ = 1 としてよい。さらに、 h = e_{1} ととった H の正規直交な元の組 e_{1}, …, e_{n} があって

F = f(W (e_{1}), …, W (e_{n})), f ∈ C_{p}^{∞}(R^{n})

と書けるとしてよい。 ϕ(x) を標準正規分布密度:

ϕ(x) = \frac{1}{\sqrt{2π}^{n}} e^{− \frac{1}{2} ∑_{j=1}^{n} x_{j}^{2}}

とすると、

E[⟨DF, h⟩_{H}] = ∫_{R^{n}} \frac{∂f}{∂x_{1}} (x)ϕ(x)dx
= ∫_{R^{n}} f(x)ϕ(x)x_{1}dx
= E[F W (e_{1})] = E[F W (h)].

q.e.d.

上の補題を積 F G に適用すれば直ちに次の補題を得る。補題 4.2 (部分積分 2) F, G ∈ S と h ∈ H について、

E[ G⟨DF, h⟩_{H} ] = E[ −F ⟨DF, h⟩_{H} + F GW (h) ].

4.3 空間 D^{p,q}

上では滑らかな確率変数に対して微分作用素を定義したが、ここから L^{p}(Ω) 上の作用素として考えて行く。つまり、適切なノルムを導入し、そのノルムについて S を完備化し定義域を定める。まず、その可閉性をチェックしよう。

補題 4.3 微分作用素 D は L^{p}(Ω) から L^{p}(Ω; L^{2}(T)) への作用素として可閉。

Proof. L^{p} の意味で 0 に収束するなめらかな確率変数の列 {F_{n}, n ≥ 1} に対し、列 {DF_{n}} は L^{p}(Ω; L^{2}(T)) の意味で η に収束するとしよう。この η が 0 であることを示したい。

任意の h ∈ H と F W (h) が有界であるような任意の F ∈ S_{b} について、部分積分公式より、

E[⟨η, h⟩_{H}F] = lim_{n} E[⟨DF_{n}, h⟩_{H}F]
= lim_{n} E[−F_{k}⟨DF, h⟩_{H} + F_{n}F W (h)]

であるが、 L^{p} の意味で F_{n} → 0 であり、 ⟨DF, h⟩_{H}, F W (h) が有界であることより、この右辺は 0 である。よって η = 0. q.e.d.

これによって以下の定義が保証される。

定義 4.2 (L^{p}(Ω) での D の定義域)L^{p}(Ω) での D の定義域 D^{1,p} を、ノルム

∥F ∥_{1,p} := {E[|F |^{p}] + E [∥DF ∥_{L^{2}(T)}^{p}]}^{1/p}

による L^{p}(Ω) での S の閉包で定義する。

注. 特に p = 2 ならば、空間 D^{1,2} は内積:

⟨F, G⟩_{1,2} := E[F G] + E[⟨DF, DG⟩_{H}]

を持つ Hilbert 空間になる。

さらに k 階の高階微分を以下のように導入しよう。 F ∈ S, k ∈ N について、

D_{t_{1},...,t_{k}}^{k}F := D_{t_{1}} ⋯ D_{t_{k}}F

とおく。 F ∈ S について、微分 D^{k}F は T^{k} × Ω 上で測度 μ^{k} × P -a.e. に定義された可測関数であることに注意せよ。

このとき、 p ≥ 1 と k ∈ N について、

∥F ∥_{k,p} := {E[|F |^{p}] + ∑_{j=1}^{k} E [∥D^{j}F ∥_{L^{2}(T^{j})}^{p}]}^{1/p}

で S 上のセミノルムを定義する。

このセミノルムが ∥ · ∥_{k,p} が以下の性質を満たすことは、容易に示される。

命題 4.1 (i) (単調性) ： p ≤ q, k ≤ j ならば、任意の F ∈ S について、

∥F ∥_{k,p} ≤ ∥F ∥_{j,q}.

(ii) (可閉性) ： D^{k} は S から L^{p}(Ω; H^{⊗k}) への作用素として可閉。

(iii) (compatibility): p, q ≥ 1, k, j ∈ N として、列 F_{n} ∈ S が

∥F_{n}∥_{k,p} → 0 (n → ∞), ∥F_{n} − F_{m}∥_{j,q} → 0 (n, m → ∞)

であるならば、

∥F_{n}∥_{j,q} → 0 (n → ∞).

よって、 ∥ · ∥_{k,p} はノルムであり、 k = 1 のときと同様に、これによる S の完備化として、 k 階微分 D^{k} の定義域 D^{k,p} を定義する。上の性質 (iii) より、 k ≥ 0, p ≥ q について、

D^{k+1,p} ⊂ D^{k,q}

という包含関係が成立することに注意せよ。また、固定した h ∈ H について、 S 上の作用素 D^{h} を、

D^{h}F := ⟨DF, h⟩_{H}

で定義する。部分積分公式より、 D^{h} は任意の p について L^{p}(Ω) からそれ自身への可閉作用素である。この定義域を D^{h,p} と書く。

Remark. H が有限次元ならば、つまり sharpT < ∞ なら、 D^{k,p} は通常の意味での (正規分布密度に関する) Sobolev 空間である。

4.4 二乗可積分確率変数の微分

F を二乗可積分確率変数とし、

F = ∑_{m=0}^{∞} I_{m}(f_{m})

(ここに f_{m} ∈ L^{2}(T^{m}) は対称) と書かれているものとする。このとき、 f_{m} がどのような性質を持てば F は微分できるだろうか。そして微分できるときには、どのような表現を持つであろうか。次の定理がその解答である。

定理 4.1 上の F について、 F ∈ D^{1,2} となることと、

∑_{m=1}^{∞} mm! ∥f_{m}∥_{L^{2}(T^{m})}^{2} < ∞

であることは同値。そしてこのとき、

D_{t}F = ∑_{m=1}^{∞} m I_{m−1}(f_{m}(·, t))

であって、しかも

E [∫_{T} (D_{t}F)^{2}μ(dt)] = ∑_{m=1}^{∞} mm! ∥f_{m}∥_{L^{2}(T^{m})}^{2}.

Proof. 三段階に分けて証明する。

Step 1.(単項の場合) h ∈ H, ∥h∥_{H} = 1 で、

F = H_{m}(W (h)) = \frac{1}{m!}I_{m}(h^{⊗m})

となっている時を考えよう。つまり、 f_{m} = h^{⊗m}/m! である項のみの特別な場合である。この時、定義より、 F ∈ S かつ

D_{t}F = H′_{m}(W (h))h(t) = H_{m−1}(W (h))h(t) = mI_{m−1}(f_{m}(·, t)).

これらの線形結合についても同様のことが成立することは明らかだから、 H_{m} ⊂ D^{1,2}. 実際、上式より、 F が m 次重複積分ならば、

E[∥DF ∥_{H}^{2}] = mE[F^{2}].

Step.2(一般の場合) 定理の f_{m} についての評価の仮定を満たす F に対して、その近似

F^{N} := ∑_{m=0}^{N} I_{m}(f_{m})

を考える。もちろん、 L^{2}(Ω) の意味で F^{N} → F. Step 1 での議論より、 F^{N} ∈ D^{1,2} かつ、

D_{t}F^{N} = ∑_{m=1}^{N} mI_{m−1}(f_{m}(·, t))

であったから、仮定

∑_{m=1}^{∞} mm! ∥f_{m}∥_{L^{2}(T^{m})}^{2} < ∞

より、 L^{2}(T × Ω) の意味で

D_{t}F^{N} → ∑_{m=1}^{∞} mI_{m−1}(f_{m}(·, t)).

よって、 F ∈ D^{1,2} かつ、

D_{t}F = ∑_{m=1}^{∞} mI_{m−1}(f_{m}(·, t)).

Step 3.(逆向きの主張) 今度は F ∈ D^{1,2} を仮定して、逆向きの主張を示す。 G を g ∈ E で G = I_{n}(g) と書かれた重複積分とする。この G と任意の F ∈ D^{1,2} について部分積分公式を適用すれば、任意の h ∈ H に対し、

lim_{N→∞} E[⟨DF^{N}, h⟩_{H}G] = lim_{N→∞} E[−F^{N}⟨DG, h⟩_{H} + F^{N}GW (h)]
= E[−F ⟨DG, h⟩_{H} + F GW (h)]
= E[⟨DF, h⟩_{H}G].

G = I_{n}(g) と n 次だから、 N > n について

E[⟨DF^{N}, h⟩_{H}G] = E [(n + 1)I_{n} (∫_{T} f_{n+1}(·, t)h(t)μ(dt)) G]

であるから、結果として、 n 次 Wiener chaos への ⟨DF, h⟩_{H} の射影は

(n + 1)I_{n} (∫_{T} f_{n+1}(·, t)h(t)μ(dt))

に等しい。よって、 {e_{i}}_{i≥1} を H の ONB とすると、

∑_{m=1}^{∞} mm!∥f_{m}∥_{L^{2}(T^{m})}^{2} = E [∑_{i=1}^{∞} ∑_{m=0}^{∞} (mI_{m−1} (∫_{T} f_{m}(·, t)e_{i}(t)μ(dt)))^{2}]
= ∑_{i=1}^{∞} E[⟨DF, e_{i}⟩_{H}^{2}] = ∥DF ∥_{L^{2}(T^{m})}^{2} < ∞

q.e.d.

Remark. この定理より、重複積分 F = I_{m}(f_{m}) が

∫_{T} ⋯ ∫_{T} f_{m}(t_{1}, …, t_{m})W (dt_{1}) ⋯ W (dt_{m})

と書かれているとき、 D_{t}F はこの積分の 1 つを取り除いて、 m 倍し、変数 t を free にすることで得られることになる。

Remark. F ∈ D^{1,2} が DF = 0 を満たすならば、上の定理より直ちに F = E[F].

条件付期待値の微分についても考えておこう。

A ∈ B, F_{A} := σ{W (B); B ⊂ A, B ∈ B_{0}} (を完備化したもの) とする。

補題 4.4 A ∈ B とし、 F を二乗可積分確率変数、 F = ∑_{m=0}^{∞} I_{m}(f_{m}) (f_{m} ∈ L^{2}(T^{m}) は対称) と書かれているとすると、

E[F |F_{A}] = ∑_{m=0}^{∞} I_{m}(f_{m}1_{A}^{⊗m}).

Proof. f_{m} ∈ E_{m} なる F = I_{m}(f_{m}) で示せば十分。さらに線型性より、背反な B_{j} ∈ B_{0} について、 f_{m} = 1_{B_{1}×···×B_{m}} としてよい。

E[F |F_{A}] = E[W (B_{1}) ⋯ W (B_{m})|F_{A}]
= E [∏_{i=1}^{m} {W (B_{i} ∩ A) + W (B_{i} ∩ A^{c})} | F_{A}]
= I_{m} (1_{(B_{1}∩A)×···×(B_{m}∩A)})

q.e.d.

命題 4.2 F ∈ D^{1,2}, A ∈ B ならば、 E[F |F_{A}] ∈ D^{1,2} であって、 T × Ω において

D_{t}(E[F |F_{A}]) = E[D_{t}F |F_{A}])1_{A}(t), a.e.

Proof. 上の補題と、重複積分表示の微分公式の定理より、

D_{t}(E[F |F_{A}]) = ∑_{m=1}^{∞} mI_{m−1}(f_{m}(·, t)1_{A}^{⊗(m−1)})1_{A}(t)
= E[D_{t}F |F_{A}])1_{A}(t).

q.e.d.

Remark. 特に F ∈ D^{1,2} が F_{A}-可測ならば、 A^{c} × Ω において D_{t}F = 0, a.e.

4.5 微分 D の chain rule

微分作用素 D は以下のように通常の chain rule を持つ。

命題 4.3 φ : R^{m} → R を連続微分可能で、偏微分が有界なものとし、固定した p ≥ 1 について F = (F^{1}, …, F^{m}) は各 F_{j} ∈ D^{1,p} とする。このとき、

D(φ(F)) = ∑_{i=1}^{m} \frac{∂φ}{∂x_{i}} (F)DF^{i}.

Proof. F を S の元で近似し、 φ を畳み込みの単位元の近似 {ψ_{ϵ}} と、高さ M でカットオフする滑らかな関数 C_{M} = 1(|x| ≤ M), 0(|x| > M +1) によって、 (φ ∗ ψ_{ϵ})C_{M} で近似すれば微分 D の定義と通常の近似の議論から容易に従う。 q.e.d.

この chain rule は φ の滑らかさの条件を弱めて Lipschitz にしても、以下の意味で成立している。

命題 4.4 φ : R^{m} → R が Lipschitz, つまり

|φ(x) − φ(y)| ≤ K|x − y|, (∃K > 0, ∀x, y ∈ R^{m})

であれば、 F = (F^{1}, …, F^{m}), (F^{j} ∈ D^{1,2}) に対して、 φ(F) ∈ D^{1,2} であり、

D(φ(F)) = ∑_{i=1}^{m} G_{i}DF^{i}

となる有界なランダムベクトル G = (G^{1}, …, G^{m}) が存在する。

証明は省略するが、 DF_{n} の L^{2}(T × Ω) の弱位相での DF への収束の議論による。この命題での G^{i} は、 F が R^{m} の Lebesgue 測度に対し絶対連続であれば、 G^{i} = ∂φ/∂x_{i}(F) となる。また、後の章での関数解析的な議論によって、実はこの命題での条件 F^{i} ∈ D^{1,2} は任意の p ≥ 2 についての D^{1,p} に弱められることが分かる。

練習 4.1 A ∈ F について、 1_{A} ∈ D^{1,2} であることと、 P (A) = 0 または 1 であることは同値。

(ヒント： chain rule より D1_{A} = D(1_{A})^{2} = 21_{A}D1_{A}.)

5 Skorohod 積分 (または微分 D の随伴作用素 δ)

5.1 Skorohod 積分の定義

微分作用素 D が D^{1,2} を定義域とし、 L^{2}(T × Ω) に値をとる、非有界な閉作用素であったことを思いだそう。この微分 D の随伴作用素 δ を考えよう。過程 u についての、この δ の作用を u の Skorohod 積分と言う。以下のように定義の形で整理しておく。

定義 5.1 (Skorohod 積分 (D の随伴作用素 δ))D の随伴作用素を δ と書く。つまり δ は L^{2}(T × Ω) 上の、 L^{2}(Ω) に値をとる非有界作用素で以下の条件で定義されるもの。

(i)

Dom δ = {u ∈ L^{2}(T × Ω) ; |E [∫_{T} D_{t}F u_{t}μ(dt)]| ≤ c∥F ∥_{2} (∀F ∈ D^{1,2})}

(ただし、ここで c は u に依存する定数)

(ii) u ∈ Domδ のとき、 δ(u) ∈ L^{2}(Ω) は、任意の F ∈ D^{1,2} について

E[F δ(u)] = E [∫_{T} D_{t}F u_{t}μ(dt)]

となるようなもの。

この δ(u) のことを過程 u の Skorohod 積分と言い、その意味で

δ(u) = ∫_{T} u_{t}dW_{t}

とも書く。これがこの記法から示唆されるように、 Itô 積分のある意味での拡張であることは後に見る。

定義より随伴作用素は常に閉であるから、 δ も閉作用素である。

5.2 δ の Wiener chaos 展開への作用

まず、この作用素 δ が Wiener chaos 展開にどう作用するかを見よう。次の補題はテクニカルな理由で必要になる。

補題 5.1 u ∈ L^{2}(T ×Ω) に対して、各 f_{m}(t_{1}, …, t_{m}, t) が deterministic かつ可測、二乗可積分で、最初の m 変数について対称であるような (m+1)- 変数関数の組 {f_{m}(t_{1}, …, t_{m}, t); m ≥ 0} が存在して、

u(t) = ∑_{m=0}^{∞} I_{m}(f_{m}(·, t)) in L^{2}(T × Ω)

と書けて、

E [∫_{T} u(t)^{2}μ(dt)] = ∑_{m=0}^{∞} m!∥f_{m}∥_{L^{2}(T^{m+1})}^{2}.

この主張は一見、既に示されているようだが、 f_{m} が全ての変数について可測に選べることと、上の無限和が L^{2}(T × Ω) で収束することが自明でない。しかし、これは u ∈ L^{2}(T × Ω) に対して、

u_{n}(t) := ∑_{k=1}^{m(n)} F_{k,n} g_{k,n}(t), (F_{k,n} ∈ L^{2}(Ω), g_{k,n} ∈ L^{2}(T))

と近似列をとって、この u_{n} についての chaos 展開：

u_{n}(t) =: ∑_{m=0}^{∞} I_{m}(f_{m,n}(·, t))

によって {f_{m,n}; m ≥ 0} を定めれば、 f_{m} に要求される仮定は全て満たされているから、これらの L^{2}(T^{m+1}) 極限で f_{m} を定義すれば良い。

以下の命題が δ の Wiener chaos 展開への作用を記述する。

命題 5.1 u ∈ L^{2}(T × Ω) が前補題 11 のように：

u(t) = ∑_{m=0}^{∞} I_{m}(f_{m}(·, t))

と書かれているとき、 u ∈ Dom δ であることと

δ(u) = ∑_{m=0}^{∞} I_{m+1}(f̃_{m}) ∈ L^{2}(Ω)

は同値。

証明に入る前に、この主張について、いくつか注意をしておく。 Remark 1. (m + 1)-変数の積分核 f_{m} は最初の m 個の変数について

は対称だが、最後の変数も含めた全体では対称ではない。実際、

f̃_{m}(t_{1}, …, t_{m}, t)

= \frac{1}{m + 1} \{f_{m}(t_{1}, …, t_{m}, t) + ∑_{i=1}^{m} f_{m}(t_{1}, …, t_{i−1}, t, t_{i+1}, …, t_{m}, t_{i})\} .

Remark 2. I_{m+1}(f_{m}) = I_{m+1}(f̃_{m}) だったから、命題の主張自体に対称化した f̃_{m} を用いる必要はない。しかし、重複確率積分の L^{2} ノルムを計算するときに必要なのであった。 (例えば次の Remark. )

Remark 3. この命題より、 Dom δ は、

∑_{m=0}^{∞}(m + 1)!∥f̃_{m}∥_{L^{2}(T^{m+1})}^{2} < ∞

を満たす L^{2}(T × Ω) の部分空間である。 u ∈ Dom δ ならば、この無限和は E[δ(u)^{2}] に等しい。

Proof. (命題の証明)

G = I_{n}(g) を対称な g の n(≥ 1) 次の重複積分とすると、

E [∫_{T} u_{t}D_{t}Gμ(dt)] = ∑_{m=0}^{∞} ∫_{T} E[I_{m}(f_{m}(·, t))nI_{n−1}(g(·, t))]μ(dt)
= ∫_{T} E[I_{n−1}(f_{n−1}(·, t))nI_{n−1}(g(·, t))]μ(dt)
= n(n − 1)! ∫_{T} ⟨f_{n−1}(·, t), g(·, t)⟩_{L^{2}(T^{n−1})}μ(dt)
= n!⟨f_{n−1}, g⟩_{L^{2}(T^{n})} = n!⟨f̃_{n−1}, g⟩_{L^{2}(T^{n})}
= E[I_{n}(f̃_{n−1})I_{n}(g)] = E[I_{n}(f̃_{n−1})G].

まず u ∈ Dom δ を仮定する。上の計算と δ の定義より、

E[F δ(u)] = E[∫_{T} D_{t}F u_{t}μ(dt)]

だから、任意の重複積分 G = I_{n}(g) について

E[δ(u)G] = E[I_{n}(f̃_{n−1})G].

よって、 I_{n−1}(f̃_{n−1}) は δ(u) の n 次 Wiener chaos への射影に一致する。ゆえに、主張の級数は L^{2}(Ω) で収束して δ(u) に等しい。

今度は逆に級数の収束を仮定して、その和を V と書く。再び始めの計算より、任意の N ≥ 1 に対し

E [∫_{T} u_{t}D_{t} (∑_{n=0}^{N} I_{n}(g_{n})) μ(dt)] = E [V ∑_{n=0}^{N} I_{n}(g_{n})] .

よって、有限和の Wiener chaos 展開を持つ任意の確率変数 F については、

|E [∫_{T} u_{t}D_{t}F μ(dt)]| ≤ ∥V ∥_{2} · ∥F ∥_{2}.

稠密性の議論より、これは任意の F ∈ D^{1,2} について成立し、 δ の定義より u ∈ Dom δ. q.e.d.

5.3 Skorohod 積分の性質

u ∈ Dom δ ならば E[δ(u)] = 0 であることや、 δ が定義域で線形であることは明らかであろう。他の基本的な性質を以下で見よう。 n ≥ 1, F_{j} ∈ S, h_{j} ∈ H(= L^{2}(T)) によって、

u(t) = ∑_{j=1}^{n} F_{j}h_{j}(t)

と書けるような過程 u(t) をなめらかな基本過程と言い、これらのクラスを S_{H} と書く。

u ∈ S_{H} は部分積分公式より Skorohod 可積分でかつ

δ(u) = ∑_{j=1}^{n} F_{j}W (h_{j}) − ∑_{j=1}^{n} D_{t}F_{j}h_{j}(t)μ(dt)

と書ける。この右辺第一項は pathwise な (経路ごとの) 積分で表示される。一般には上のような第二項が現れるが、もし、 h_{j} = 1_{A_{j}} (A_{j} ∈ B_{0}) で、 F_{j} が F_{A_{j}^{c}}-可測ならば、以前に条件付期待値の微分の命題のところで見たように、 A^{c} × Ω で a.e. に D_{t}F = 0 だから、この第二項は消えて第一項のみで書けることに注意しておこう。

他の性質を示すために、 Dom δ に含まれるあるクラスを以下のように定義しておく。

定義 5.2 (クラス L^{1,2}) 過程 u ∈ L^{2}(T ×Ω) で、任意の t について u(t) ∈ D^{1,2} かつ、 2 パラメータの過程 D_{s}u_{t} の可測な version が存在して

E [∫_{T} ∫_{T} (D_{s}u_{t})^{2}μ(ds)μ(dt)] < ∞

となるようなもののなすクラスを L^{1,2} と書く。

Remark 1. m + 1 変数の deterministic, 可測、二乗可積分関数で、最初の m 変数については対称である f_{m} によって

u(t) = ∑_{m=0}^{∞} I_{m}(f_{m}(·, t))

と書かれているとき、 u ∈ L^{1,2} であることと、

∫_{T} ∫_{T} E [| ∑_{m=1}^{∞} mI_{m−1}(f_{m}(·, s, t))|^{2}] μ(ds)μ(dt) = ∑_{m=1}^{∞} mm!∥f_{m}∥_{L^{2}(T^{m+1})}^{2} < ∞

は同値。 Remark 2. L^{1,2} はノルム

∥u∥_{1,2}^{2} := ∥u∥_{L^{2}(T ×Ω)}^{2} + ∥Du∥_{L^{2}(T^{2}×Ω)}^{2}

について Hilbert 空間をなし、 L^{2}(T; D^{1,2}) と isomorphic.

Remark 3. 上の Remark 1 と不等式

∥f̃_{m}∥_{L^{2}(T^{m+1})} ≤ ∥f_{m}∥_{L^{2}(T^{m+1})}

より、 L^{1,2} ⊂ Dom δ である。

では、以下で他の Skorohod 積分の性質を見ていこう。

命題 5.2 (D と δ の交換関係)u ∈ L^{1,2} とし、 a.a. t について {D_{t}u_{s}, s ∈ T } は Skorohod 可積分、かつ L^{2}(T ×Ω) の元である {∫_{T} (D_{t}u_{s})dW_{s}, t ∈ T } の version が存在することを仮定する。このとき、 δ(u) ∈ D^{1,2} であって、

D_{t}(δ(u)) = u_{t} + ∫_{T} (D_{t}u_{s})dW_{s}.

Proof. いつもの仮定を満たす f_{m} によって

u_{t} = ∑_{m=0}^{∞} I_{m}(f_{m}(·, t))

と chaos 展開されているとして計算すればよい。詳細は練習問題。 q.e.d

命題 5.3 (Skorohod 積分の共分散)u, v ∈ L^{1,2} ならば、

E[δ(u)δ(v)] = ∫_{T} E[u_{t}v_{t}]μ(dt) + ∫_{T} ∫_{T} E[D_{s}u_{t}D_{t}v_{s}]μ(ds)μ(dt).

Proof. 稠密性の議論より、 u が有限和の chaos 展開を持つとして示せば十分。このとき δ(u) ∈ D^{1,2} であって、 δ の定義と上の交換関係から、

E[δ(u)δ(v)] = E [∫_{T} v_{t}D_{t}(δ(u))μ(dt)]
= E [∫_{T} v_{t} (u_{t} + ∫_{T} (D_{t}u_{s})dW_{s}) μ(dt)] .

ここで再度、 δ の定義より主張が得られる。 q.e.d.

命題 5.4 (確率変数との積の Skorohod 積分)なめらかな確率変数 F ∈ D^{1,2} が E[F^{2} ∫_{T} u_{t}^{2}μ(dt)] < ∞ を満たすならば、

∫_{T} (F u_{t})dW_{t} = F ∫_{T} u_{t}dW_{t} − ∫_{T} (D_{t}F)u_{t}μ(dt).

ここに上の等式は、右辺が L^{2}(Ω) に属すとき左辺の F u_{t} が Skorohod 可積分であり、逆に左辺が定義されるならば右辺が L^{2}(Ω) の元であると言う意味である。

Proof. コンパクトな台を持つなめらかな g でG = g(W (h_{1}), …, W (h_{n})) と書かれているとする。 D の chain rule と、 δ の定義より、

E [∫_{T} (D_{t}G)F u_{t}μ(dt)] = ∫_{T} E[u_{t}(D_{t}(F G) − GD_{T} F)]μ(dt)
= E [G(F δ(u) − ∫_{T} u_{t}D_{t}F μ(dt)] .

q.e.d.

命題 5.5 (勾配になる過程)u ∈ L^{2}(T × Ω) に対し、 DF = u となる F ∈ D^{1,2} が存在することと、 u(t) = ∑_{m=0}^{∞} I_{m}(f_{m}(·, t)) と書いたとき、これまでの f_{m} の仮定に加えてさらに、 f_{m} が全ての変数について対称であることとは同値。

Proof.

F := ∑_{m=0}^{∞} \frac{1}{m + 1}I_{m+1}(f_{m})

とおけば、 F ∈ D^{1,2} かつ DF = u である。逆は自明。 q.e.d.

この命題から次の意味での、過程 u の直交分解が示せる。

命題 5.6 任意の u ∈ L^{2}(T × Ω) は一意な直交分解：

u = DF + u^{0}

を持つ。ここに、 F ∈ D^{1,2} で、 u^{0} は任意の G ∈ D^{1,2} について、 E[⟨DG, u^{0}⟩_{H}] = 0 となるものである。さらに、 u^{0} は Skorohod 可積分で δ(u^{0}) = 0.

Proof. 前命題より {DF; F ∈ D^{1,2}} は L^{2}(T × Ω) の閉部分空間をなす。よって、任意の u ∈ L^{2}(T × Ω) に対し一意な直交分解：

u = DF + u^{0}

がある。ここに、 F ∈ D^{1,2} で、 u^{0} は任意の G ∈ D^{1,2} に対し u^{0} ⊥ DG となるもの。任意の G ∈ D^{1,2} について、 E[⟨DG, u^{0}⟩_{H}] = 0 であるから、 δ の定義より u^{0} は Skorohod 可積分で δ(u^{0}) = 0. q.e.d.

5.4 Skorohod 積分の特別な場合としての伊藤積分

この章では伊藤積分が Skorohod 積分の特別な場合であることを示す。まず次の補題を用意する。

補題 5.2 A ∈ B_{0} で F は二乗可積分確率変数かつ F_{A^{c}}-可測であるとするならば、 F 1_{A} は Skorohod 可積分で

δ(F 1_{A}) = F W (A).

Proof. F ∈ D^{1,2} を仮定すると、前章でやった確率変数との積の Skorohod 積分の公式より、

δ(u) = F W (A) − ∫_{T} D_{t}F 1_{A}(t)μ(dt)

であるが、 F の可測性より A 上では D_{t}F = 0 だから主張が従う。一般の場合も δ が閉作用素であることより、極限の議論で証明される。 q.e.d.

W = {W^{i}(t); 0 ≤ t ≤ 1, 1 ≤ i ≤ d} を d 次元ブラウン運動とし、 L^{2}([0, 1] × Ω; R^{d}) ≅ L^{2}(T × Ω) の適合過程からなる閉部分空間を L_{a}^{2} と書く。この枠組みで、以下の命題が成立する。

命題 5.7 L_{a}^{2} ⊂ Domδ であって、しかも L_{a}^{2} に限定すれば、

δ(u) = ∑_{i=1}^{d} ∫_{0}^{1} u_{t}^{i}dW_{t}^{i} (伊藤積分).

Proof. F_{j} ∈ L^{2}(Ω, F_{t_{j}}, P; R^{d}), (F_{t} := F_{[0,t]}) と、 0 ≤ t_{1} < ⋯ < t_{n+1} ≤ 1 によって、

u_{t} = ∑_{j=1}^{n} F_{j}1_{(t_{j},t_{j+1}]}(t)

と書かれているなら、前の補題より、 u ∈ Domδ であって

δ(u) = ∑_{i=1}^{d} ∑_{j=1}^{n} F_{j}^{i}(W^{i}(t_{j+1}) − W^{i}(t_{j}))

となり、これは伊藤積分を示している。よって、 L^{2}(T × Ω) のノルムについて、 u ∈ L_{a}^{2} の近似列をとれば、その Skorohod 積分であるところの伊藤積分が、 u の伊藤積分に収束する。 δ は閉であるから、 u ∈ Domδ でこの u の伊藤積分が δ(u) に他ならない。 q.e.d.

重要な応用を持つ Clark-Ocone 公式を示すために、この枠組みでの議論をもう少し続ける。 W を 1 次元ブラウン運動とすると、この W について可測な二乗可積分確率変数 F は

F = E[F] + ∫_{0}^{1} ϕ(t)dW_{t}, ϕ ∈ L_{a}^{2}

と書けるのだった。逆に考えれば、 F ∈ D^{1,2} ならばこの ϕ は F の微分の射影と思える。つまり、以下の定理が成立する。

定理 5.1 (Clark-Ocone 公式) F ∈ D^{1,2} ならば、

F = E[F] + ∫_{0}^{1} E[D_{t}F |F_{t}]dW_{t}.

Proof.

F = ∑_{m=0}^{∞} I_{m}(f_{m})

と書くと、

E[D_{t}F |F_{t}] = ∑_{m=0}^{∞} mE[I_{m−1}(f_{m}(·, t))|F_{t}]
= ∑_{m=1}^{∞} mI_{m−1} (f_{m}(t_{1}, …, t_{m−1}, t))1_{{t_{1}∨···∨t_{m−1}≤t}}) .

ϕ_{t} = E[D_{t}F |F_{t}] とおく。上の計算と chaos 展開の δ の公式より、

δ(ϕ) = ∑_{m=1}^{∞} I_{m}(f_{m}) = F − E[F].

δ(ϕ) は伊藤積分に等しいのだったから、これが示すべきことだった。 q.e.d

以下の補題は、伊藤積分が微分可能であることと、その被積分関数が微分可能であることの同値性を示している。

補題 5.3 W = {W (t), t ∈ [0, 1]} を 1 次元ブラウン運動とし、二乗可積分な適合過程 u = {u_{t}, t ∈ [0.1]} の伊藤積分を X_{t} = ∫_{0}^{t} u_{s}dW_{s} とすると、 u ∈ L^{1,2} と X_{1} ∈ D^{1,2} は同値。しかもこのとき、 X ∈ L^{1,2} であって、

∫_{0}^{t} E[|D_{s}X_{t}|^{2}]ds = ∫_{0}^{t} E[u_{s}^{2}]ds + ∫_{0}^{t} ∫_{0}^{s} E[|D_{r}u_{s}|^{2}]drds.

Proof. u ∈ L^{1,2} を仮定する。 u は Skorohod 積分と D の交換関係の仮定をみたしている。実際、 {D_{t}u_{s}, s ∈ [t, 1]} は適合かつ二乗可積分より、 Skorohod 可積分で、さらに

E [∫_{0}^{1} |∫_{t}^{1} D_{t}u_{s}dW_{s}|^{2} dt] = ∫_{0}^{1} ∫_{t}^{1} E[|D_{t}u_{s}|^{2}]dsdt < ∞

(伊藤積分の等長性) が成り立っている。よって、交換関係が使えて、任意の t について X_{t} ∈ D^{1,2} かつ

D_{s}X_{t} = u_{s}1_{{s≤t}} + ∫_{s}^{t} D_{s}u_{r}dW_{r}.

この二乗平均をとれば主張が得られて、 X ∈ L^{1,2}.

逆に、 X_{1} ∈ D^{1,2} を仮定する。 u_{t}^{N} を u_{t} の P_{N} = H_{0} ⊕ ⋯ ⊕ H_{N} への射影とする。 X_{t}^{N} := ∫_{0}^{t} u_{s}^{N}dW_{s} とおくとこれは X_{t} の P_{N+1} への射影である。よって、 X_{1}^{N} は D^{1,2} の位相で X_{1} に収束し、このとき、

∫_{0}^{1} E[|D_{s}X_{1}^{N}|^{2}]ds = ∫_{0}^{1} E[|u_{s}^{N}|^{2}ds + ∫_{0}^{1} ∫_{0}^{s} E[|D_{r}u_{s}^{N}|^{2}]drds
≥ ∫_{0}^{1} ∫_{0}^{s} E[|D_{r}u_{s}^{N}|^{2}]drds = E [∥Du^{n}∥_{L^{2}([0,1]^{2}}^{2}]

より、結果が従う。 q.e.d.

5.5 作用素 D と δ の局所性

再び、一般のパラメータ空間 (T, B, μ) で考える。

伊藤積分の局所性と同じように、 Skorohod 積分についても以下の意味の局所性が成立する。

命題 5.8 u ∈ L^{1,2} がある集合 A ∈ F に対して、 T × A 上で μ × P -a.e. に u_{t}(w) = 0 となるならば、 A 上で a.e. に δ(u) = 0.

Proof. ϕ : R → R を無限回連続微分可能で、 ϕ ≥ 0, ϕ(0) = 1, suppϕ ⊂ [−1, 1] であるようにとり、任意の ϵ > 0 に対し ϕ_{ϵ}(x) := ϕ(x/ϵ) とおく。

F をなめらかな確率変数として、

F = f(W (h_{1}), …, W (h_{n})), (f ∈ C_{0}^{∞}(R^{n}))

と書く。示すべきことは、

δ(u)1_{{∫_{T} u_{t}^{2}μ(dt)=0}} = 0, a.s.

である。 F ϕ_{ϵ}(∥u∥_{H}^{2}) ∈ D^{1,2} は容易に確かめられるから、 δ の定義を用いて、

E [δ(u)ϕ_{ϵ} (∫_{T} u_{t}^{2}μ(dt)) F ] = E [∫_{T} u_{t}D_{t} {F ϕ_{ϵ} (∫_{T} u_{s}^{2}μ(ds))} μ(dt)]
= E [ϕ_{ϵ} (∫_{T} u_{s}^{2}μ(ds)) (∫_{T} u_{t}D_{t}F μ(dt))]
+ 2E [F ϕ′_{ϵ} (∫_{T} u_{s}^{2}μ(ds)) ∫_{T} u_{t} (∫_{T} u_{s}D_{t}u_{s}μ(ds)) μ(dt)] .

ここで ϵ → 0 の極限が期待値の内側でとれれば、 a.s. に 0 であることが容易に分かるから、 Lebesgue の優収束定理が使えるように被積分関数の評価が得られればよい。

|ϕ_{ϵ} (∫_{T} u_{s}^{2}μ(ds)) (∫_{T} u_{t}D_{t}F μ(dt))| ≤ ∥ϕ∥_{∞}∥u∥_{H}∥DF ∥_{H},

|ϕ′_{ϵ} (∫_{T} u_{s}^{2}μ(ds)) ∫_{T} u_{t} (∫_{T} u_{s}D_{t}u_{s}μ(ds)) μ(dt)|
≤ sup_{x} |xϕ′_{ϵ}(x)| {∫_{T} (D_{t}u_{S})^{2}μ(ds)μ(dt)}^{1/2} ≤ ∥ϕ∥_{∞}∥Du∥_{L^{2}(T^{2})}

が必要な評価であった。 q.e.d

Remark. 局所性は u ∈ L^{1,2} に対し成立するが、一般の u ∈ Domδ については分からない。 (もちろん、伊藤積分に一致しているときは、伊藤積分の局所性より従うが。 )

命題 5.9 (作用素 D の局所性)F ∈ D^{1,2} が、ある A ∈ F 上で a.s. に F = 0 ならば、 T × Ω 上で a.e. に D_{t}F = 0.

Proof. F ∈ D^{1,1} ∩ L^{∞}(Ω) と仮定してよ ( arctan(F) を考えよ)。示すべきことは T × Ω 上で a.e. に 1_{{F =0}}D_{t}F = 0.

前の命題の証明と同じ ϕ_{ϵ} を考え、さらに、

ψ_{ϵ}(x) := ∫_{−∞}^{x} ϕ_{ϵ}(y)dy

とおく。 chain rule より、 ψ_{ϵ}(F) ∈ D^{1,1} で、 Dψ_{ϵ}(F) = ϕ_{ϵ}(F)DF. u をなめらかな elementary process として、

u(t) = ∑_{j=1}^{n} F_{j}h_{j}(t), (F_{j} ∈ S_{b}, h_{j} ∈ H)

と書かれているとすると、 δ の随伴性がこの F と u について成立すること、および、この u のクラスが L^{1}(Ω; H) で total であること (,i.e., v ∈ L^{1} が任意の u に対し E[⟨u, v⟩_{H}] = 0 ならば v = 0.) より、

|E [ϕ_{ϵ}(F) ∫_{T} D_{t}F u_{t}μ(dt)]| = |E [∫_{T} D_{t}(ψ_{ϵ}(F))u_{t}μ(dt)]|
= |E[ψ_{ϵ}(F)δ(u)]| ≤ ϵ∥ϕ∥_{∞}E[|δ(u)|].

ここで、 ϵ ↓ 0 とすれば、 E[1_{{F =0}}⟨DF, u⟩_{H}] = 0. q.e.d.

以上の δ と D の局所性より、以下のように局所化による関数空間の定義が考えられる。

定義 5.3 (空間 D_{loc}^{k,p}) p ≥ 1 とする。 F ×D^{k,p} の列 {(Ω_{n}, F_{n}), n ≥ 1} で、 Ω_{n} ↑ Ω, a.s. かつ、この Ω_{n} 上で a.s. に F = F_{n} なるものがとれるような、確率変数 F 全体のなす空間を D_{loc}^{k,p} と書く。また、このときの列 (Ω_{n}, F_{n}) をこの空間での F の局所化と言う。

この Ω_{n} 上では、 DF = DF_{n} によって F の微分 DF が定義できることに注意せよ。 D^{h} も局所性を持つことが容易に分かるから、同じようにして、空間 D_{loc}^{h} を定義する。さらに以下のように L^{1,2} も局所化する。

定義 5.4 (空間 L_{loc}^{1,2}) F × L^{1,2} の列 {(Ω_{n}, F_{n}), n ≥ 1} で、 Ω_{n} ↑ Ω, a.s. かつ、 T × Ω_{n} 上で a.s. に u = u^{n} なるものがとれるような、過程 u 全体のなす空間を L_{loc}^{1,2} と書く。

これより、 u ∈ L_{loc}^{1,2} ならば、任意の n ≥ 1 に対し、

∫_{T} u_{t}dW_{t}|_{Ω_{n}} = ∫_{T} u_{t}^{n}dW_{t}|_{Ω_{n}}

となるような確率変数として決まる ∫_{T} u_{t}dW_{t} で Skorohod 積分が定義できる。

練習 5.1 W = {W (t), t ∈ [0, 1]} を 1 次元ブラウン運動とする。このとき、 u_{t} = W_{t}/|W_{1}| と v_{t} = exp(W_{t}^{4}) はどちらも、 L^{1,2} には属さないが、 L_{loc}^{1,2} に属する。

6 Ornstein-Uhlenbeck 半群T_{t} と生成作用素 L

6.1 Ornstein-Uhlenbeck 半群 T_{t}

これまでと同様、 H = L^{2}(T, B, μ) をパラメータ空間として {W (h), h ∈ H} を考え、 J_{n} を n 次 chaos への射影、つまり、 F = ∑_{n=0}^{∞} I_{n}(f_{n}) に対し J_{n}(F) = I_{n}(f_{n}) とする。

定義 6.1 (Ornstein-Uhlenbeck 半群) F ∈ L^{2}(Ω) に対し、

T_{t}(F) = ∑_{n=0}^{∞} e^{−nt}J_{n}(F)

で定義した L^{2}(Ω) 上の縮小作用素の 1 パラメータ半群 {T_{t}, t ≥ 0} を Ornstein-Uhlenbeck 半群と言う。

以上で Ornstein-Uhlenbeck 半群 {T_{t}, t ≥ 0} が定義されたが、この別の見方を以下のように与えよう。これが上の定義に一致することは後で見る。

{W′(h), h ∈ H} を {W (h), h ∈ H} の独立なコピーとし、この W, W′ は確率空間の直積、つまり (Ω × Ω′, F × F′, P × P′) 上で定義されていると考える。ここに、 F′ = σ{W′(h), h ∈ H} である。任意の t について、

Z(h) = Z(h)_{t} := e^{−t}W (h) + \sqrt{1 − e^{−2t}}W′(h), h ∈ H

によって、過程 Z = {Z(h), h ∈ H} を定義する。これは Gauss 過程であり、平均 0 で分散も {W (h), h ∈ H} と同じであることに注意せよ。実際、

E[Z(h_{1})Z(h_{2})] = e^{−2t}⟨h_{1}, h_{2}⟩_{H} + (1 − e^{−2t})⟨h_{1}, h_{2}⟩_{H} = ⟨h_{1}, h_{2}⟩_{H}.

過程 {W (h), h ∈ H} を W : Ω → R^{H} と言う写像だと思って、同じ記号 W で書く。 W′ についても同様である。このとき、与えられた任意の確率変数 F ∈ L^{2}(Ω, F, P) に対し、 F = ψ_{F} ∘ W と書くと、この ψ_{F} は P ∘ W^{−1} a.s. で決まる R^{H} から R への可測写像である。これらより、確率変数

ψ_{F} (Z(ω, ω′)) = ψ_{F} (e^{−t}W (ω) + \sqrt{1 − e^{−2t}}W′(ω′))

が P × P′ a.s. に定義できる。このとき、任意の t > 0 に対し、

T_{t}(F) := E′ [ψ_{F} (e^{−t}W + \sqrt{1 − e^{−2t}}W′)]

と定義する (ここで E′ は P′ についての期待値)。この T_{t} が最初定義したものと L^{2}(Ω, F, P) 上で一致することを見よう。定義での T_{t} は L^{2}(Ω, F, P) の線形縮小作用素だったが、上式の T_{t} に

ついても、 p ≥ 1 のとき、

E[|T_{t}(F)|^{p}] = E [|E′[ψ_{F} (e^{−t}W + \sqrt{1 − e^{−2t}}W′)]|^{p}]
≤ E [E′[|ψ_{F} (e^{−t}W + \sqrt{1 − e^{−2t}}W′)|^{p}]] = E[|F |^{p}]

であるから、これも L^{p}(Ω, F, P) 上の同じく線形縮小作用素である。実際、 L^{2} 上で二つの T_{t} の作用が等しいことを示すには、任意の h ∈ H で F = exp\{W (h) − \frac{1}{2}∥h∥_{H}^{2}\} について作用が等しいことを見れば十分。

E′ [exp \{e^{−t}W (h) + \sqrt{1 − e^{−2t}}W′(h) − \frac{1}{2}∥h∥_{H}^{2}\}]

= exp \{e^{−t}W (h) − \frac{1}{2}e^{−2t}∥h∥_{H}^{2}\}
= ∑_{n=0}^{∞} e^{−nt}∥h∥_{H}^{n}H_{n} (\frac{W (h)}{∥h∥_{H}}) = ∑_{n=0}^{∞} \frac{e^{−nt}}{n!} I_{n}(h^{⊗n}).

よって、二つの定義は L^{2} 上で一致する。

この T_{t} が非負であること (F ≥ 0 ならば T_{t}(F) ≥ 0) や、対称であること (E[GT_{t}(F)] = E[F T_{t}(G)]) などは明らかであろう。

Example. (一次元の古典的 Ornstein-Uhlenbeck 過程)

α, β > 0, s, t ∈ R に対し、平均が 0 で分散 K(s, t) = βe^{−α|s−t|} を持つ R 上の Gauss 過程 {X_{t}, t ∈ R} を古典的 Ornstein-Uhlenbeck 過程と言う。これは定常 Markov 過程の一つであり、分布密度は

P (X_{t} ∈ dy|X_{s} = x) = N (xe^{−α(t−s)}, β(1 − e^{−2α(t−s)})) (dy)

と正規分布で表示される。 W を R 上の Brownian 測度、つまり、 {W (B), B ∈ B(R)} を平均 0 の Gauss 族で、 E[W (B_{1})W (B_{2})] = ∫_{R} 1_{B_{1}∩B_{2}}(x)dx となるものとすると、 X_{t} は具体的に (例えば原点出発とすれば)、

X_{t} = \sqrt{2αβ} ∫_{−∞}^{t} e^{−α(t−u)}dW_{u}

と表示することもできるし、また X_{t} が以下の確率微分方程式

dX_{t} = \sqrt{2αβ}dW_{t} − αX_{t}dt

を満たすことも良く知られている。

α = β = 1 として、この過程による L^{2}(R, B(R), ν) 上の半群作用素を考えよう。これはこれまでの我々の枠組みで言えば、確率空間として L^{2}(R, B(R), ν) をとり、 H = R, W (t)(x) = tx とした特別な場合である。つまり、有界かつ可測な関数 f に対し、

∫_{R} f(y)P (X_{s+t} ∈ dy|X_{s} = x) = ∫_{R} f(y)N(e^{−t}x, 1 − e^{−2t})(dy)
= ∫_{R} f(e^{−t}x + \sqrt{1 − e^{−2t}}y)ν(dy) = T_{t}(f)(x).

練習 6.1 W = {W_{t}, t ≥ 0} を標準ブラウン運動とするとき、

Y_{t} = \sqrt{β}e^{−αt}W (e^{2αt}), (t ∈ R)

がパラメータ α, β の Ornstein-Uhlenbeck 過程と同じ法則を持つことを示せ。

一般の場合にも上の例のように、 H = L^{2}(T, B, μ) でパラメトライズされた過程を導入して、その期待値による Ornstein-Uhlenbeck 半群の表現を考えたい。

ある確率空間 (Ω̃, F̃, P̃) を用意して、 T × R 上の Brownian 測度 B を考えよう (intensity 測度は 2μ(dt)dx)。このとき、

X_{t}(h) := ∫_{−∞}^{t} ∫_{T} h(τ)e^{−(t−s)}B(dτ, ds)

と定義すれば、この h ∈ H でパラメトライズされた Gauss 過程 X_{t} は、平均 0 で、分散

Ẽ[X_{t_{1}}(h_{1})X_{t_{2}}(h_{2})] = e^{−|t_{1}−t_{2}|}⟨h_{1}, h_{2}⟩_{H}

を持つ。これより、さらに、任意の h ∈ H について {X_{t}(h), t ∈ R} は、上の例で α = 1, β = ∥h∥_{H}^{2} とした一次元の古典的 Ornstein-Uhlenbeck 過程であること、任意の t ≥ 0 について {X_{t}(h), h ∈ H は、 {W (h), h ∈ H} と同じ法則を持つことは容易に分かる。

ゆえに、任意の確率変数 F ∈ L^{0}(Ω) に対して、 X_{t} との合成 F (X_{t}) を考えることができる。すなわち、 ψ_{F} : R^{H} → R を ψ_{F} (W) = F で決まる写像としたときの ψ_{F} (X_{t}) をもって、合成 F (X_{t}) とする。

可測な G と T × (−∞, t] 上の有界部分集合 B との合成の確率変数 G(B) で生成された σ-加法族を F̃_{t} と書くことにする。このとき、一次元の古典的な場合と同様に、過程 X_{t}(h) と Ornstein-Uhlenbeck 半群の関係が得られる：

命題 6.1 任意の t ≥ 0, s ∈ R と任意の可積分な確率変数 F に対し、

Ẽ[F (X_{s+t}|F̃_{s}] = (T_{t}F)(X_{s}).

Proof. S は L^{1}(Ω) で稠密で、主張の等式の各要素は L^{1} で連続だから、 F ∈ S であるとして示せば十分。

F = f(W (h_{1}), ⋯, W (h_{n})), f ∈ C_{p}^{∞}(R^{n}), h_{j} ∈ H,

とおく。 {e^{−t}X_{s}(h), h ∈ H} は F̃_{s}-可測であること、そして、 Gauss 族 \{X_{s+t}(h) − e^{−t}X_{s}(h), h ∈ H\} は \{\sqrt{1 − e^{−2t}}W (h), h ∈ H\} と同法則で F̃_{s} に独立であることに注意すれば、

Ẽ[F (X_{s+t}|F̃_{s}] = Ẽ[f(X_{s+t}(h_{1}), …, X_{s+t}(h_{n}))|F̃_{s}]
= Ẽ[f(X_{s+t}(h_{1}) − e^{−t}X_{s}(h_{1}) + e^{−t}X_{s}(h_{1}),
…, X_{s+t}(h_{n}) − e^{−t}X_{s}(h_{n}) + e^{−t}X_{s}(h_{n}))|F̃_{s}]
= E′[f(\sqrt{1 − e^{−2t}}W′(h_{1}) + e^{−t}X_{s}(h_{1}),
…, \sqrt{1 − e^{−2t}}W′(h_{n}) + e^{−t}X_{s}(h_{n}))]
= (T_{t}F)(X_{s}).

q.e.d

6.2 Ornstein-Uhlenbeck 半群の無限小生成作用素 L

定義 6.2 (作用素 L) F ∈ L^{2}(Ω) に対し、

LF := ∑_{n=0}^{∞} −nJ_{n}(F)

で、 (右辺が L^{2}(Ω) の意味で収束するとき) 作用素 L を定義する。その定義域は自然に

Dom L = {F = ∑_{n=0}^{∞} I_{n}(f_{n}) ∈ L^{2}(Ω) ; ∑_{n=1}^{∞} n^{2}n!∥f_{n}∥_{L^{2}(T^{n})}^{2} < ∞}

と決まる。

定義より、 DomL ⊂ D^{1,2} であり、また L は有界で、対称 (つまり E[F LG] = E[GLF]) な作用素であることもすぐわかる。

命題 6.2 (L は T_{t} の生成作用素)L は Ornstein-Uhlenbeck 半群 {T_{t}, t ≥ 0} の無限小生成作用素 (infinitesimal generator)、すなわち、 F ∈ Dom L と

LF = ∃ lim_{t↓0} \frac{1}{t}(T_{t}F − F) ∈ L^{2}(Ω)

は同値。 Proof. F ∈ Dom L を仮定すると、

E [|\frac{1}{t}(T_{t}F − F) − LF |^{2}] = ∑_{n=0}^{∞} \{\frac{1}{t}(e^{−nt} − 1) + n\}^{2} E[|J_{n}F |^{2}]

だが、 t ↓ 0 のとき (e^{−nt} − 1)/t + n → 0 で |(e^{−nt} − 1)/t| ≤ n だから上式の右辺は 0 に収束する。

逆に、 lim_{t↓0}(T_{t}F − F)/t = G ∈ L^{2}(Ω) を仮定すると、

J_{n}G = lim_{t↓0} \frac{1}{t}(T_{t}J_{n}F − J_{n}F) = −nJ_{n}F

だから、 F ∈ Dom L かつ LF = G. q.e.d

命題 6.3 (δ, D, L の関係) F ∈ L^{2}(Ω) に対して

δDF = −LF,

すなわち、 F ∈ Dom L と F ∈ Dom (δD) (つまり、 F ∈ D^{1,2} かつ DF ∈ Dom δ) は同値であって、そのとき、 δDF = −LF が成立。

Proof. F ∈ D^{1,2} かつ DF ∈ Dom δ を仮定して、 F = ∑_{n=0}^{∞} I_{n}(f_{n}) とおき、 G = I_{n}(g) を n 次 Wiener chaos H_{n} に属する確率変数とすると、

E[GδDF] = E[⟨DG, DF ⟩_{H}]
= n^{2}(n − 1)!⟨g, f_{n}⟩_{L^{2}(T^{n})} = nE[GJ_{n}F].

よって、 J_{n}δDF = nJ_{n}F であるから、 F ∈ Dom L かつ δDF = −LF.

逆に、 F ∈ Dom L ならば、 F ∈ D^{1,2} かつ、任意の G = ∑_{n=0}^{∞} I_{n}(g_{n}) ∈ D^{1,2} について、

E[⟨DG, DF ⟩_{H}] = ∑_{n=1}^{∞} n^{2}(n − 1)!⟨g_{n}, f_{n}⟩_{L^{2}(T^{n})}
= ∑_{n=1}^{∞} nE[J_{n}GJ_{n}F] = −E[GLF].

よって、 DF ∈ Dom δ かつ δDF = −LF. q.e.d

なめらかな確率変数については以下のように、 L の作用を具体的に記述することができる。さらに chain rule についても続く命題のような表現を得る。命題 6.4 (L の具体的表現)S ⊂ Dom L であり、任意の F ∈ S について、 F = f(W (h_{1}), …, W (h_{n})), f ∈ C_{p}^{∞}(R^{n}) と書けば、

LF = ∑_{i,j=1}^{n} \frac{∂^{2}f}{∂x_{i}∂x_{j}} (W (h_{1}), …, W (h_{n}))⟨h_{i}, h_{j}⟩_{H}

− ∑_{i=1}^{n} \frac{∂f}{∂x_{i}} (W (h_{1}), …, W (h_{n}))W (h_{i}).

Proof. F ∈ D^{1,2} であり、 DF の記述は既に知っている。 DF ∈ S_{H} ⊂ Dom δ だから、さらに δ の作用の具体的記述を用いれば直ちに主張を得る。 q.e.d.

命題 6.5 (L の chain rule) 確率変数 F = (F^{1}, …, F^{m}) の各要素が F^{j} ∈ D^{2,4} を満たし、 ϕ ∈ C^{2}(R^{m}) を一階、二階偏微分ともに有界とするならば、 φ(F) は Dom L に属し、

L(φ(F)) = ∑_{i,j=1}^{m} \frac{∂^{2}φ}{∂x_{i}∂x_{j}} (F)⟨DF^{i}, DF^{j}⟩_{H} + ∑_{i=1}^{m} \frac{∂φ}{∂x_{i}} (F)LF^{i}.

Proof. F をなめらかな確率変数によって ∥ · ∥_{2,4} のノルムの意味で近似、 φ を C_{p}^{∞} で近似して、 L の ∥ · ∥_{2,2} の意味での連続性を用いればよい。 q.e.d.

S 上にノルム ∥ · ∥_{L} を

∥F ∥_{L} := {E[F^{2}] + E[|LF |^{2}]}^{1/2}

で定義する。この ∥ · ∥_{L} は ∥ · ∥_{2,2} に一致する。なぜなら、

E[F^{2}] + E[|LF |^{2}] = ∑_{n=0}^{∞}(n^{2} + 1)n!∥f_{n}∥_{L^{2}(T^{n})}^{2}
= E[F^{2}] + E[∥DF ∥_{L^{2}(T)}^{2} + E[∥D^{2}F ∥_{L^{2}(T^{2})}^{2}]

となって二つのノルムは実際等しい。よって、 D^{2,2} は L の L^{2}(Ω) での定義域として特徴づけられる。

同様にして、空間 D^{1,2} は、以下で定義される作用素 C = −\sqrt{−L} の L^{2}(Ω) での定義域として特徴づけられる。 F = ∑_{n=0}^{∞} I_{n}(f_{n}) と書くとき、

CF = ∑_{n=0}^{∞} −\sqrt{n}I_{n}(f_{n})

と定義すると、 L のときと同様 C は

Q_{t}F = ∑_{n=0}^{∞} e^{−\sqrt{n} t}I_{n}(f_{n})

で与えられる半群 (これを Cauchy 半群と呼ぶ) の無限小生成作用素になる。そして、

E[(CF)^{2}] = ∑_{n=1}^{∞} nn!∥f_{n}∥_{L^{2}(T^{n})}^{2} = E[∥DF ∥_{H}^{2}]

が任意の F ∈ Dom C で成り立つから、実際 Dom C = D^{1,2} である。

6.3 超縮小性 (hypercontractivity) と乗数定理

T_{t} は L^{p} (p ≥ 1) で縮小性を持つのであったが、さらに以下のように、 Nelson の意味でのより強い縮小性、すなわち「超縮小性 (hypercontractivity)」を持つ。

定理 6.1 (T_{t} の超縮小性) p > 1, t > 0 とするとき、 q(t) := e^{2t}(p−1)+1 とおくと (q(t) > p に注意)、任意の F ∈ L^{p}(Ω, F, P) に対して、

∥T_{t}F ∥_{q(t)} ≤ ∥F ∥_{p}.

この定理は重要だが証明はやや面倒なので省略し、 (例えば Nualart の本文に Neveu による伊藤の公式を用いた比較的易しい証明がある)、以下ではその用いられ方を見ることにしよう。その場で適切に t, q(t) などのパラメータを定めることで、必要な評価が便利に得られていることが分かるだろう。

命題 6.6 1 < p < q < ∞ とすると、任意の次数の Wiener chaos H_{n} 上、二つのノルム ∥ · ∥_{p} と ∥ · ∥_{q} は同値。

Proof. 超縮小性を用いるために、 t > 0 を q = 1 + e^{2t}(p − 1) となるように取る。このとき、任意の F ∈ H_{n} について、

e^{−nt}∥F ∥_{q} = ∥T_{t}F ∥_{q} ≤ ∥F ∥_{p}

となる。

今度は t > 0 を p − 1 = e^{2t} であるように取ると、各 n について J_{n} は L^{p} 内で有界であり、 p > 2 ならば、

∥J_{n}F ∥_{p} = e^{nt}∥T_{t}J_{n}F ∥_{p} ≤ e^{nt}∥J_{n}F ∥_{2}
≤ e^{nt}∥F ∥_{2} ≤ e^{nt}∥F ∥_{p}.

また、 p < 2 ならばその共役指数を q として、 q − 1 = e^{2t} で再び t を決めれば、双対性より

∥J_{n}F ∥_{p} = sup_{∥G∥_{q}≤1} E[(J_{n}F)G]
≤ ∥F ∥_{p} sup_{∥G∥_{q}≤1} ∥J_{n}G∥_{q} ≤ e^{nt}∥F ∥_{p}

となるから、結局

∥J_{n}F ∥_{p} ≤ \{ \begin{matrix}(p − 1)^{n/2}∥F ∥_{p}, & (p > 2), \\ (p − 1)^{−n/2}∥F ∥_{p}, & (p < 2), \end{matrix}

となって、両側の評価が得られた。 q.e.d

以下では超縮小性の応用として、乗数定理 (multiplier theorem) の証明を与える。定理とその証明を述べる前に、しばらくその準備をする。

F ∈ P とする。 P は L^{p}(Ω) (p ≥ 1) で稠密であった。 {ϕ(n)}_{n≥0} を ϕ(0) = 0 なる実数列とし、これに対して

T_{ϕ}F := ∑_{n=0}^{∞} ϕ(n)J_{n}F, (F ∈ P)

によって線形作用素 T_{ϕ} : P → P を定めることができる (今まで見てきた作用素の多くはこのタイプであった)。

では、どのような {ϕ(n)}_{n≥0} が L^{p}(Ω) (p > 1) で有界な作用素 T_{ϕ} を与えるだろうか。この疑問に対する答の一つが乗数定理である。

定理の主張と証明を述べる前に以下の補題を一つ用意する。

補題 6.1 p > 1, F ∈ P とすると、任意の自然数 N に対してある定数 K = K(p, N) があって、任意の t > 0 について、

∥T_{t}(I − J_{0} − J_{1} ⋯ − J_{N−1}(F)∥_{p} ≤ Ke^{−Nt}∥F ∥_{p}.

Proof. p > 2 とする。 p = e^{2t_{0}} + 1 となるように t_{0} をとり、超縮小性を用いると、任意の t ≥ t_{0} について、

∥T_{t_{0}}T_{t−t_{0}}(I − J_{0} − J_{1} − ⋯ − J_{N−1})(F)∥_{p}^{2}
≤ ∥T_{t−t_{0}}(I − J_{0} − J_{1} − ⋯ − J_{N−1})(F)∥_{2}^{2}
= ∥ ∑_{n=N}^{∞} e^{−n(t−t_{0})}J_{n}F ∥_{2}^{2}
= ∑_{n=N}^{∞} e^{−n(t−t_{0})}∥J_{n}F ∥_{2}^{2}
≤ e^{−2N(t−T_{0})}∥F ∥_{2}^{2} ≤ e^{−2N(t−t_{0})}∥F ∥_{p}^{2}.

t < t_{0} のときは、各 chaos での p ノルムの同値性の証明と同様に、

∥T_{t}(I − J_{0} − J_{1} − ⋯ − J_{N−1})(F)∥_{p}
≤ ∑_{n=0}^{N−1} ∥J_{n}F ∥_{p} + ∥F ∥_{p} ≤ ∑_{n=0}^{N−1} e^{nt_{0}}∥F ∥_{p} + ∥F ∥_{p}
≤ (Ne^{2Nt_{0}} + e^{Nt_{0}})e^{−Nt}∥F ∥_{p}

となって、 p > 2 の場合には主張は示された。 p = 2 の場合は明らかであり、 1 < p < 2 の場合は双対性の議論によって、 p > 2 の場合の結果より従う。 q.e.d.

では乗数定理を述べてその証明を与えよう。乗数定理は Malliavin 解析のさまざまな部分で重要な働きをする。

定理 6.2 (乗数定理 (multiplier theorem) 数列 {ϕ(n)}_{n≥0} を、 ϕ(0) = 0 かつ、 ∑_{k=0}^{∞} |a_{k}|/N^{k} < ∞ であるような自然数 N と実数列 {a_{k}}_{k≥0} が存在して、任意の n ≥ N に対し、

ϕ(n) = ∑_{k=0}^{∞} \frac{a_{k}}{n^{k}}

と書けるならば、作用素 T_{ϕ} は L^{p} (1 < p < ∞) で有界。

Remark. 上の定理の仮定はやや複雑だが、言いかえると、ある番号 N より先の全ての n ≥ N で、 ϕ(n) = h(1/n) と書けるような原点近傍で解析的な h(x) が存在することと同値である。 Proof.

T_{ϕ} = ∑_{n=0}^{N−1} ϕ(n)J_{n}F + ∑_{n=N}^{∞} ϕ(n)J_{n}F =: T_{ϕ}^{(1)} + T_{ϕ}^{(2)}

と分けると、 T_{ϕ}^{(1)} は J_{n} の有界性より L^{p} で有界だから、 T_{ϕ}^{(2)} だけが問題である。

R_{N} := ∫_{0}^{∞} T_{t}(I − J_{0} − J_{1} − ⋯ − J_{N−1})dt = ∑_{n=N}^{∞} \frac{1}{n}J_{n}

とおけば、前補題より、任意の F ∈ P に対し

∥R_{N}F ∥_{p} ≤ KN^{−1}∥F ∥_{p}

となる定数 K = K(p, N) がある。任意の自然数 k について、

R_{N}^{k} := ∑_{n=N}^{∞} \frac{1}{n^{k}} J_{n}

とおけば、

R_{N}^{k} = ∫_{0}^{∞} ⋯ ∫_{0}^{∞} T_{t_{1}+···+t_{k}}(I − J_{0} − J_{1} − ⋯ − J_{N−1})dt_{1} ⋯ dt_{k}

と書けるから、

∥R_{N}^{k}F ∥_{p} ≤ ∫_{[0,∞)^{k}} ∥T_{t_{1}+···+t_{k}}(I − J_{0} − ⋯ − J_{N−1})(F)∥_{p}dt_{1} ⋯ dt_{k}
≤ K∥F ∥_{p} ∫_{[0,∞)^{k}} e^{−N(t_{1}+···t_{k})}dt_{1} ⋯ dt_{k} = KN^{−k}∥F ∥_{p}.

結果、

T_{ϕ}^{(2)}F = ∑_{n=N}^{∞} (∑_{k=0}^{∞} a_{k}n^{−k}) J_{n}F = ∑_{k=0}^{∞} a_{k}(R_{N}^{k}F)

であるから、

∥T_{ϕ}^{(2)}F ∥_{p} ≤ K ∑_{k=0}^{∞} |a_{k}|N^{−k}∥F ∥_{p}

となって、仮定より有界である。 q.e.d.

6.4 Sobolev 空間と Meyer のノルム同値性

D^{k,p} はノルム ∥ · ∥_{k,p} によって S を完備化して作ったのであった。これを Hilbert 空間に値をとる確率変数についてのものに一般化しよう。

V を可分な実 Hilbert 空間とし、 V に値をとるなめらかな確率変数の空間として、

S_{V} := {F = ∑_{j=1}^{n} F_{j}v_{j}; v_{j} ∈ V, F_{j} ∈ S, n ≥ 1}

と定義する。この元に対する k 階微分は

D^{k}F := ∑_{j=1}^{n} D^{k}F_{j} ⊗ v_{j}, (k ≥ 1)

と定義する。もちろん、以前と同じく D^{k} は (S ⊂ L^{p}(Ω; H) から L^{p}(T^{k} × Ω; V) ≃ L^{p}(Ω; H^{⊗k} × V) への作用素として) 可閉性を持つ。

自然数 k と実数 p ≥ 1 について、 S_{V} のセミノルムを

∥F ∥_{k,p,V} := {E[∥F ∥_{V}^{p}] + ∑_{j=1}^{k} E [∥D^{j}F ∥_{L^{2}(T^{j};V)}^{p}]}^{1/p}

で定義する。前と同じように、これは単調性、可閉性、 compatibility を持つからノルムであって、この ∥ · ∥_{k,p,V} によって S_{V} を完備化できるから、これを D^{k,p}(V) と書く。記号の便利のために、 k = 0 のときには、 ∥F ∥_{0,p,V} := {E[∥F ∥_{V}^{p}]}^{1/p} とし、 D^{0,p}(V) := L^{p}(Ω; V) と約束する。

これらの空間の共通部分をとって、

D^{∞}(V) := ⋂_{p≥1} ⋂_{k≥1} D^{k,p}(V)

とおく。 D^{∞}(R) のことは単に D^{∞} と略記する。この D^{∞}(V) は完備、加算ノルム、距離空間である。また、各自然数 k ≥ 1 と実数 p ≥ 1 に対し、作用素 D は D^{k,p}(V) から D^{k−1,p}(H ⊗ V) への写像として連続であるから、結果、 D は D^{∞}(V) から D^{∞}(H ⊗ V) への連続な線形作用素である。さらに、 F, G ∈ D^{∞} のとき、 ⟨DF, DG⟩_{H} ∈ D^{∞} である。以下の命題も前と同様に近似の議論で示せる。命題 6.7 F = (F^{1}, …, F^{m}) を、各成分 F^{j} ∈ D^{∞} とし、 φ ∈ C_{p}^{∞}(R^{m}) とすると、 φ(F) ∈ D^{∞} であって、

D(φ(F)) = ∑_{j=1}^{m} \frac{∂φ}{∂x_{j}} (F)DF^{j}
L(φ(F)) = ∑_{i,j=1}^{m} \frac{∂^{2}φ}{∂x_{i}∂x_{j}} (F)⟨DF^{i}, DF^{j}⟩_{H} + ∑_{j=1}^{m} \frac{∂φ}{∂x_{j}} (F)LF^{j}.

よって、特に D^{∞} は代数をなす。あとで見るように、 L と δ は D^{∞} の枠組みで連続な作用素となるが、このことは Meyer の不等式 (Meyer の同値性)、つまり C = −\sqrt{−L} によるノルムと D によるノルムの同値性から導かれる。

以下では Meyer の不等式の要点を見て行こう。この不等式の証明は色々と知られているが、以下の作用素 DC^{−1} の L^{p} 有界性が本質である。

命題 6.8 p > 1 とするとき、ある定数 c_{p} > 0 が存在して、任意の E[F] = 0 なる F ∈ P について、

∥DC^{−1}F ∥_{p} ≤ c_{p}∥F ∥_{p}.

この事実の証明はやや難しいので省略するが、 Nualart の本文に Pisier のアイデアによる証明が紹介されている。おおまかに言うと、作用素 DC^{−1} を Hilbert 変換を用いて表現し、 Hilbert 変換の持つ一般的性質である L^{p} 有界性を用いて、作用素の有界性を導くのである。

Meyer の不等式の主張はこの有界性から、以下のように導かれる。

命題 6.9 (Meyer の不等式 1(特別な場合))p > 1 とするとき、ある定数 c_{p}, C_{p} > 0 があって、任意の F ∈ P に対して、

c_{p}∥DF ∥_{L_{p}(Ω;H)} ≤ ∥CF ∥_{p} ≤ C_{p}∥DF ∥_{L^{p}(Ω;H)}.

Proof. F は期待値 0 と仮定してよい。 G := CF とおくと、前命題より、

∥DF ∥_{L^{p}(Ω;H)} = ∥DC^{−1}G∥_{L^{p}(Ω;H)} ≤ c_{p}∥G∥_{p} = c_{p}∥CF ∥_{p}

となって左側の不等式は直ちに従う。右側の不等式も双対性の議論から得られる。 q.e.d.

定理 6.3 (Meyer の不等式 2 (一般の場合))任意の実数 p > 1 と自然数 N に対して、ある定数 c_{p,N}, C_{p,N} が存在して、任意の F ∈ P に対し、

c_{p,N}E [∥D^{N}F ∥_{L^{2}(T^{N})}^{p}] ≤ E[|C^{N}F |^{p}] ≤ C_{p,N} {E [∥D^{N}F ∥_{L^{2}(T^{N})}^{p}] + E[|F |^{p}]} .

Proof. 証明は N の帰納法による。 N = 1 の場合は前命題の系であり、 1, 2, …, N で主張が正しいとして、 N + 1 の場合を考えると、 Khintchin 不等式と前命題から主張が従う。詳細は省略する (see, Nualart)。 q.e.d.

今や、 Meyer の不等式を用いて、 δ と L の連続性を示せる。

命題 6.10 (δ, L の連続性) 実数 p > 1 と自然数 k について、 δ は D^{k,p}(H) から D^{k−1,p} への有界作用素であり、 L は D^{k,p} から D^{k−2,p} への有界作用素。よって、 δ は D^{∞}(H) から D^{∞} への、 L は D^{∞} から D^{∞} への連続な作用素である。

Proof. 簡単のため、 δ : D^{1,p}(H) → L^{p} についてだけ示そう。他も同様である。

q を p の共役指数とする。任意の u ∈ D^{1,p}(H) と期待値 0 の多項式 G ∈ P について、

E[δ(u)G] = E[⟨u, DG⟩_{H}] = E[⟨ũ, DG⟩_{H}] + E[⟨E[u], DG⟩_{H}]

と書けば (ũ := u − E[u])、右辺の第二項は ∥u∥_{L^{p}(Ω;H)}∥G∥_{q} の定数倍で押さえられるから、最初から E[u] = 0, E[DG] = 0 であると仮定してよい。

R := ∑_{n=2}^{∞} n/(n − 1)J_{n} と言う作用素を用意して、 Meyer の不等式を用いれば、

|E[δ(u)G]| = |E[⟨u, DG⟩_{H}]| = |E[⟨Du, DC^{−2}DG⟩_{L^{2}(T^{2})}]|
≤ ∥Du∥_{L^{p}(Ω;H⊗H)}∥DC^{−2}DG∥_{L^{q}(Ω;H⊗H)}
≤ c_{p}∥Du∥_{L^{p}(Ω;H⊗H)}∥D^{2}C^{−2}RG∥_{L^{q}(Ω;H⊗H)}
≤ c′_{p}∥Du∥_{L^{p}(Ω;H⊗H)}∥G∥_{q}.

q.e.d.

P が各 D^{k,p} で稠密であることを示すために、以下の補題を用意する。補題 6.2 確率過程 u が H に値をとる多項式的な確率変数であるとき、任意の p > 1 について、

∥C^{−1}δ(u)∥_{L^{p}(Ω;H)} ≤ c_{p}∥u∥_{L^{p}(Ω)}.

Proof. G ∈ P を E[G] = 0 なる確率変数とし、 u ∈ P_{H} とすると、 Meyer の不等式 1 より、

|E[C^{−1}δ(u)G]| = |E[⟨u, DC^{−1}G⟩_{H}]|
≤ ∥u∥_{L^{p}(Ω;H)}∥DC^{−1}G∥_{L^{q}(Ω;H)} (q は共役指数)
≤ c_{p}∥u∥_{L^{p}(Ω;H)}∥G∥_{L^{q}(Ω)}.

q.e.d.

この補題の結果として、作用素 D(−L)^{−1}δ も L^{p}(Ω; H) から自分自身への作用素として有界である。 (実際、 D(−L)^{−1}δ = (DC^{−1})(C^{−1}δ).) また、 (−L)^{−1/2} が L^{p} (p > 1) で有界であることから、作用素 L^{−1}δ が有界であることも分かる。

これらの作用素の有界性を用いて次の命題が得られる。

命題 6.11 α > 1 とし、 F ∈ D^{k,α} とする。 i = 0, 1, …, k と、ある p > α について、 D^{i}F ∈ L^{p}(Ω; H^{⊗i}) ならば、 F ∈ D^{k,p} であって、この F にノルム ∥ · ∥_{k,p} の意味で収束する列 G_{n} ∈ P が存在する。

Proof. k > 1 のときも同様に示せるので、 k = 1 のときだけを示す。 E[F] = 0 と仮定してよい。多項式確率変数は L^{p}(Ω; H) で稠密であるから、 L^{p}(Ω; H) で DF に収束する H-値多項式確率変数の列 η_{n} をとれる。さらに一般性を失なわず、 J_{l}η_{n} (l ≥ 1) も H-値多項式確率変数と仮定できる。 D^{1,α} 上で、 −L^{−1}δD = I − J_{0} に注意せよ。 η_{n} = DG_{n} + u_{n} と分解して、 G_{n} = −L^{−1}δ(η_{n}) ∈ P かつ δ(u_{n}) = 0 とできる。前補題の C^{−1}δ の有界性より、 L^{−1}δ も有界だから、 F − G_{n} = L^{−1}δ(η_{n} − DF) は L^{p} の意味で 0 に収束する。また、

∥DF − DG_{n}∥_{L^{p}(Ω;H)} = ∥DL^{−1}δ(η_{n} − DF)∥_{L^{p}(Ω;H)}
≤ c_{p}∥η_{n} − DF ∥_{L^{p}(Ω;H)}

であるから、 ∥DF − DG_{n}∥_{H} は L^{p} の意味で 0 に収束する。 q.e.d.

よって、次の系が得られる。系 6.1 任意の実数 p > 1 と自然数 k ≥ 1 について、 P は D^{k,p} で稠密。

次の主張も上の命題から得られる。これは以前に示した D^{1,2} のときの補題の一般化である。

命題 6.12 任意の実数 p > 1 と自然数 k ≥ 1 について、 {F_{n}, n ≥ 1} を D^{k,p} の列とする。 F_{n} が L^{p}(Ω) で F に収束し、 sup_{n} ∥F_{n}∥_{k,p} < ∞ ならば、 F 自身も D^{k,p} に属する。

Proof. 証明略。

最後の Remark. (渡辺の超関数理論)

p > 1 と s ∈ R のとき、 F ∈ P に対し、

∥F ∥_{s,p,L} := ∥∑_{n=0}^{∞}(n + 1)^{s/2}J_{n}F ∥_{p} = ∥(I − L)^{s/2}F ∥_{p}

でノルム ∥ · ∥_{s,p,L} を定義する。 Meyer の不等式と乗数定理より、 s が整数のとき、 ∥ · ∥_{s,p} と ∥ · ∥_{s,p,L} とは同値である。このノルム ∥ · ∥_{s,p,L} による P の完備化を D^{s,p} と書く。 s が負であるときの D^{s,p} の元は、 q を p の共役指数として、 D^{−s,q} がその双対空間になると言う意味で、一般化された確率変数と捉えられる。そこで、

D^{−∞} := ⋃_{s,p} D^{s,p}

とおいて、これを渡辺の超関数の空間と言う。この空間はなめらかで非退化な確率変数と Schwarz の超関数との合成を含む。例えば、その重要な例の一つは、ブラウン運動とデルタ関数の合成 δ_{x}(W (h)) である。熱核はこの超関数の期待値の形で表現できるから、その Malliavin 解析による研究が可能になる。