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12枚のコインがあり、11枚は全く同じだが、1枚だけ”重さが異なる” 偽物が混じっている。これを両皿天秤を3回用いて選別せよ。

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/********** 以下解答です **********/
ポイントは、偽物が重いか軽いかが判らない点、 ただ、解答としては偽物の選別だけを求められている。

１．コインを4つずつ3グループに分ける。
  　　グループの分け方は任意。以下,Ａ，Ｂ，Ｃと表記する。
    　　　　グループＡのコインには(ａ１，ａ２，ａ３，ａ４）、
    　　　　グループBのコインには(ｂ１、ｂ２、ｂ３、ｂ４)、
    　　　　グループCのコインには(ｃ１，ｃ２，ｃ３，ｃ４)と銘打っておく。

  　　秤に任意の2グループ(ここではグループＡ，Ｂ)を乗せる。


＊秤1回目使用

２−１．　Ａ＝Ｂ(秤がつりあった時)
  　　偽コインはグループＣにある事が判る。
  　　逆にＡ，Ｂのコインは全て等しく「本物」のコインである。

  　　秤の片側にCの任意の2つのコイン(ｃ１、ｃ２)を、
  　　反対側にはＡ，Ｂの任意の2つのコイン(ａ１，ａ２)を乗せる。


＊秤２回目使用

  　３−１．　(ｃ１、ｃ２）＝（ａ１，ａ２)(秤がつりあった時)
  　　　偽コインは(ｃ３、ｃ４)のどちらか。   　　　秤の片側にｃ３を乗せ、反対側にａ１を乗せる。

  　　　＊秤３回目使用

  　　　ｃ３＝ａ１ならば、ｃ４が偽物、ｃ３＜＞ａ１ならばｃ３が偽物。（完）



  　３−２．　（ｃ１、ｃ２)＜＞（ａ１，ａ２)（秤がつりあわなかった時)
  　　　偽コインは(ｃ１、ｃ２)のどちらか。   　　　秤の片側にｃ１を乗せ、反対側にａ１を乗せる。

  　　　＊秤３回目使用

  　　　ｃ１＝ａ１ならば、ｃ２が偽物、ｃ１＜＞ａ１ならばｃ１が偽物。（完）




２−２．　Ａ＞Ｂ(秤がつりあわなかった時)

(注)不等号大なりの方が重いとする。

　　下がった方(重い方)をＡ、上がった方(軽い方)をＢとする。
　　Ａに重い偽物のコインがあるか、Ｂに軽い偽物のコインがある。
　　この時Ｃのコインは等しく「本物」である。

　　Ａが乗っていた側をＸ、Ｂの側をＹと名する。
　　Ｘはａ１を残し、ａ２，ａ３，ａ４を秤から下ろし、別離しておく。
　　Ｙはｂ１を残し、ｂ２、ｂ３、ｂ４、を秤の反対側に乗せる。
　　そこにｃ１、ｃ２、ｃ３を乗せる。
　　秤にはＸ［ａ１，ｂ２，ｂ３，ｂ４]、Ｙ[ｂ１，ｃ２，ｃ３，ｃ４]が乗っている事になる。


＊秤２回目使用

  　３−３．　Ｘ＞Ｙ(２−２と状態が変わらない時)
  　　この時はａ１が重たいか、ｂ１が軽いかのいずれかである。
  　　秤の片側にａ１を乗せ、反対側にはｃ１を乗せる。

  　　　＊秤３回目使用

  　　　ａ１＝ｃ１ならばｂ１が偽物、ａ１＞ｃ１ならばａ１が偽物(完)



  　３−４．　Ｘ＝Ｙ(秤がつりあった時)
  　　この時は２−２．で取り除いたａ２，ａ３，ａ４に重たい偽物があるという事になる。
  　　したがってａ２，ａ３の重さを比べれば偽物が判別できる。

  　　　＊秤３回目使用

  　　　ａ２＞ａ３ならａ２、ａ２＜ａ３ならａ３、ａ２＝ａ３ならばａ４が偽物(完)



  　３−５．　Ｘ＜Ｙ(２−２．と秤の状態が逆になったとき)
  　　この時は２−２．で移し変えたｂ２，ｂ３，ｂ４に軽い偽物があると言うことになる。
  　　したがってｂ２，ｂ３の重さを比べれば偽物が判別できる。

  　　　＊秤３回目使用

  　　　ｂ２＞ｂ３ならｂ２、ｂ２＜ｂ３ならｂ３、ｂ２＝ｂ３ならばｂ４が偽物(完)


/********** 以上解答　完 **********/